终于有机会可以把傅里叶分析推导一遍了。其实我对傅里叶变换一直停留在认识层面，今天就要好好梳理一下，为什么这么多人要用它来处理信号，它到底有什么魔力。
好，那我们就从傅里叶级数开始吧。
一、周期信号 x ( t ) x(t) x(t)
傅里叶级数公式：
x
(
t
)
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
a
k
e
j
k
w
0
t
（
1
）
x(t) = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{a_k}{e^{jk{w_0}t}}} \;\;\;\;\;\; （1）
x(t)=k=−∞∑+∞akejkw0t（1）
为什么上述公式需要用
e
j
k
w
0
t
{e^{jk{w_0}t}}
ejkw0t而不用其他呢？
e
j
k
w
0
t
=
cos
(
k
w
0
t
)
+
j
sin
(
k
w
0
t
)
{e^{jk{w_0}t}}={\cos (k{w_0}t) + j\sin (k{w_0}t)}
ejkw0t=cos(kw0t)+jsin(kw0t) 是由不同频率的正弦函数构成的。在自然界中，正弦是最普遍的现象，且易于表达和计算，所以首选是正弦函数。**傅里叶分析的基本思想是想将所有任意复杂的函数，都通用的表示为一组谐波相关的复指数。**对
e
j
k
w
0
t
{e^{jk{w_0}t}}
ejkw0t在一个周期内进行积分，可以得到
∫
T
0
e
j
k
w
0
t
d
t
=
∫
T
0
(
cos
(
k
w
0
t
)
+
j
sin
(
k
w
0
t
)
)
d
t
=
{
T
0
k
=
0
0
k
≠
0
\int_{{T_0}} {{e^{jk{w_0}t}}dt = \int_{{T_0}} {(\cos (k{w_0}t) + j\sin (k{w_0}t)} )dt = \left\{ \begin{array}{l} {T_0}\;\;\;\;\;k = 0\\ 0\;\;\;\;\;\;\;k \ne 0 \end{array} \right.}
∫T0ejkw0tdt=∫T0(cos(kw0t)+jsin(kw0t))dt={T0k=00k=0
积分结果非常的简单。
所以，在傅里叶级数中，只需要求出系数
a
k
a_k
ak就可以了。
对于周期函数，
∫
T
0
x
(
t
)
e
−
j
n
w
0
t
d
t
=
∫
T
0
e
−
j
n
w
0
t
∑
k
=
−
∞
+
∞
a
k
e
j
k
w
0
t
d
t
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
a
k
∫
T
0
e
j
(
k
−
n
)
w
0
t
d
t
=
{
a
k
T
0
k
=
n
0
k
≠
n
\begin{array}{l} \int_{{T_0}} {x(t){e^{ - jn{w_0}t}}dt} = \int_{{T_0}} {{e^{ - jn{w_0}t}}\sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{a_k}{e^{jk{w_0}t}}} } dt \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{a_k}\int_{{T_0}} {{e^{j(k - n){w_0}t}}} dt} \; \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \left\{ \begin{array}{l} {a_k}{T_0}\;\;\;\;\;k = n\\ 0\;\;\;\;\;\;\;k \ne n \end{array} \right. \end{array}
∫T0x(t)e−jnw0tdt=∫T0e−jnw0tk=−∞∑+∞akejkw0tdt=k=−∞∑+∞ak∫T0ej(k−n)w0tdt={akT0k=n0k=n
即
⇒
a
n
=
1
T
0
∫
T
0
x
(
t
)
e
−
j
n
w
0
t
d
t
\Rightarrow {a_n} = \frac{1}{{{T_0}}}\int_{{T_0}} {x(t){e^{ - jn{w_0}t}}dt}
⇒an=T01∫T0x(t)e−jnw0tdt
由于计算机无法处理无限长的函数，所以要进行截断。
现要处理非周期函数，利用上面周期函数得到的结论进行进一步的推导。
定义部分时间函数：
x
N
(
t
)
=
∑
k
=
−
N
N
a
k
e
j
k
w
0
t
{x_N}(t) = \sum\limits_{k = - N}^N {{a_k}{e^{jk{w_0}t}}}
xN(t)=k=−N∑Nakejkw0t。
当
N
→
∞
N \to \infty
N→∞时，
x
N
(
t
)
{x_N}(t)
xN(t)是否和
x
(
t
)
x(t)
x(t)一致。这里引出狄利赫里条件，即
①在一个周期内，间断点数目有限，且为第一类间断点；
②在一个周期内，极大值极小值数目有限；
③在一个周期内，信号能量有限。
所以说，信号在每个连续点上都可以和
x
(
t
)
x(t)
x(t)一致。在不连续点处，会有误差，这是吉布斯效应，如下图所示。
二、非周期信号 x ( t ) x(t) x(t)
以
T
0
T_0
T0为周期，将它复制成周期信号
x
~
(
t
)
\tilde x(t)
x~(t)，
x
~
(
t
)
=
x
(
t
)
,
∣
t
∣
<
T
0
2
\tilde{x}(t)=x(t),|t|<\frac{T_{0}}{2}
x~(t)=x(t),∣t∣<2T0。随着
T
0
T_0
T0趋近于无穷，周期信号会变成非周期信号，即
x
~
(
t
)
=
x
(
t
)
\tilde x(t)=x(t)
x~(t)=x(t)，两者可以相互转换，为下面的推导打下了基础。
对于周期信号
x
~
(
t
)
\tilde x(t)
x~(t)来说，根据公式（1）可以得到
x
~
(
t
)
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
a
k
e
j
k
w
0
t
（
2
）
\tilde x(t) = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{a_k}{e^{jk{w_0}t}}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;（2）
x~(t)=k=−∞∑+∞akejkw0t（2）
那么，
a
k
=
1
T
0
∫
−
T
0
/
2
T
0
/
2
x
~
(
t
)
e
−
j
k
w
0
t
d
t
{a_k} = \frac{1}{{{T_0}}}\int_{ - {T_0}/2}^{{T_0}/2} {\tilde x(t){e^{ - jk{w_0}t}}dt}
ak=T01∫−T0/2T0/2x~(t)e−jkw0tdt
即，当
T
0
→
∞
{T_0} \to \infty
T0→∞时，
a
k
=
1
T
0
∫
−
∞
∞
x
(
t
)
e
−
j
k
w
0
t
d
t
{a_k} = \frac{1}{{{T_0}}}\int_{ - \infty }^\infty {x(t){e^{ - jk{w_0}t}}dt}
ak=T01∫−∞∞x(t)e−jkw0tdt
定义傅里叶变换：
X
(
w
)
=
∫
−
∞
∞
x
(
t
)
e
−
j
w
t
d
t
⇒
X
(
w
)
=
T
0
a
k
(
w
=
k
w
0
)
X(w) = \int_{ - \infty }^\infty {x(t){e^{ - jwt}}dt} \Rightarrow X(w)= T_0a_k (w = k{w_0})
X(w)=∫−∞∞x(t)e−jwtdt⇒X(w)=T0ak(w=kw0)
那么，
a
k
=
1
T
0
X
(
w
)
{a_k}=\frac{1}{T_0}X(w)
ak=T01X(w)。将该式带入式（2）得，
x
~
(
t
)
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
a
k
e
j
k
w
0
t
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
1
T
0
X
(
k
w
0
)
e
j
k
w
0
t
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
w
0
2
π
X
(
k
w
0
)
e
j
k
w
0
t
\begin{array}{l} \tilde x(t) = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{a_k}{e^{jk{w_0}t}}} \\\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{ = }}\sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{{{T_0}}}X(k{w_0}){e^{jk{w_0}t}}} \\\;\;\;\;\;\;\;\; = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty }\frac{{w_0}}{{2\pi }} {X(k{w_0}){e^{jk{w_0}t}}} \end{array}
x~(t)=k=−∞∑+∞akejkw0t=k=−∞∑+∞T01X(kw0)ejkw0t=k=−∞∑+∞2πw0X(kw0)ejkw0t
当
T
0
→
∞
⇒
w
0
→
0
,
w
0
→
d
w
,
∑
→
∫
,
x
~
(
t
)
→
x
(
t
)
{T_0} \to \infty \Rightarrow {w_0} \to 0,{w_0} \to dw,\sum {} \to \int {},\tilde x(t) \to x(t)
T0→∞⇒w0→0,w0→dw,∑→∫,x~(t)→x(t)(
w
w
w变得很小，频域就变成函数了)
所以，
x
(
t
)
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
X
(
w
)
e
j
w
t
d
w
x(t) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {X(w){e^{jwt}}dw}
x(t)=2π1∫−∞+∞X(w)ejwtdw
综上所述，
傅里叶级数：
a
k
=
1
T
0
∫
T
0
x
(
t
)
e
−
j
k
w
0
t
d
t
{a_k} = \frac{1}{{{T_0}}}\int_{{T_0}} {x(t){e^{ - jk{w_0}t}}dt}
ak=T01∫T0x(t)e−jkw0tdt
x
(
t
)
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
a
k
e
j
k
w
0
t
x(t) = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{a_k}{e^{jk{w_0}t}}}
x(t)=k=−∞∑+∞akejkw0t
傅里叶变换：
X
(
w
)
=
∫
−
∞
∞
x
(
t
)
e
−
j
w
t
d
t
X(w) = \int_{ - \infty }^\infty {x(t){e^{ - jwt}}dt}
X(w)=∫−∞∞x(t)e−jwtdt
x
(
t
)
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
X
(
w
)
e
j
w
t
d
w
x(t) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {X(w){e^{jwt}}dw}
x(t)=2π1∫−∞+∞X(w)ejwtdw
（PS：什么是频域？它是一种坐标系，只不过其空间中只有正弦函数。是构造出来的非真实空间。整正弦波是对频域的描述。因为任何时域波形都可以用正弦波表示。）