九、差错控制–海明校验码与CRC

如何对数据进行检错和纠错？

差错控制，就是要检错，和纠错

方法其实就是通过增加二进制位的方式，补充信息来达到目的

所谓码距，实际上就是用多少位来编码，码距就是多少

首先，有的编码连发现错误，也就是检错都做不到

比如：

• 如果只用1位进行编码，假设A=1，B=0，那么码距为1，此时是没法进行纠错的，也就是连错误都发现不了

因为你收到的信息只能是0或者1，无论收到0还在1，都无法判断这个信息是正确的还是错误的，因为0就是B，1就是A，不知道它对不对，它是错的你也不知道

解决方法是什么？

增加码距

• 如果码距为2，假设A=11，B=00，此时就能做到检错了，如果你收到10的编码，马上就能知道传错了，因为根本就没有这个编码，但是仍然做不到纠错，也就是改错。因为你不知道它原来更近A还是B，10即有可能是A，也有可能是B，两者概率一样，无法纠错

进一步解决方法是什么？

继续增加码距

• 如果码距为3，假设A=111，B=000，此时你收到了一个110，从常规统计来说，极少会出现错多位的情况,110更接近于A，因此可以进行改错，如果觉得概率不够高，可以继续增加码距

如何计算最小码距？

• 如果要检测e个误码，最小码距d满足：d>=e+1

上面例子中，要检测误码为1，检错的最小码距就是d>=1+1，也就是2

• 如果要纠正t个误码，最小码距d满足：d>=2t+1

上面例子中，要纠正的误码为2，纠错的最小码距就是d>=2*1+1，也就是3

什么是循环校验码CRC？

好像在计算机网络的部分中，也会用到这个东西

只能检错，无法纠错

原理是在数据后补上若干个校验位，接收方将数据除以生成的多项式，如果余数为0，校验通过，否则，校验失败

CRC使用什么除法进行校验？

一种模2除法

也就是按位进行异或操作

二进制普通除法是怎么除的，后面再看…

如何进行CRC编码结果的计算？

1. 首先将多项式，转换为二进制，没有x的2次方，也就是第三位为0，其他有多项式的，就是1，得到生成的多项式为11011；
2. 在原始报文后面，增加若干位的0，长度是多项式的长度-1，目前多项式长度是5位，则增加0000，4个0；为何补4个0，其实就是补余数的位数；
3. 通过模2除法进行计算，将得出的余数0011，替换掉最后的0000，就得到了最终的CRC编码11001010101_0000；
4. 其实到现在还不太清楚模2究竟是怎么除的，后面再仔细看看…
5. 校验时，得出的余数就会是0000…

什么是海明校验码？

是一个难点，但是考试的频次很高！

校验位，规定了2的n次方位，是校验位

比如，对于一个字节的数据，第1位，第2位，第4位，第8位，就是校验位

如果信息位只有1位，那么整个编码就得是3位，因为第1位，第2位都必须是校验位，也就是说，编码长度最少都是3位，这不就是上面举例的如果码距为3的情况，看来海明校验码是能够进行纠错的。

如果信息为2位，整个编码就需要5位，第1位，第2位，第4位都是校验位，校验码有3位

如果信息位为3位，整个编码就需要6位，

如果信息位为4位，整个编码就需要7位，；这种还挺常见的，信息位4位

如果信息位为5位，整个编码就需要9位；也就是说，如果数据只有一个字节的大小，最多信息位其实只有4位

海明码如何计算？

信息1011的海明码

公式为2的r次方>=4+r+1

如果校验码是3位

则r就是3，4是信息位的个数

比如，信息位是4位，它能计算出校验位有多少位

2的3次方为8，4+3+1为7，刚好小于8

• 以上，就确定了第1位，第2位，第4位都是校验位，第7、6、5、3是信息位，信息位直接填入即可

接下来确定校验位的值是多少

I4，=2的2次方+2的1次方+2的0次方，第7位

I3，=2的2次方+2的1次方，第6位

I2，=2的2次方+2的0次方，第5位

I1，=2的1次方+2的0次方，第3位

第4位，也就是第三个校验位，r2，等于，I4，I3，I2异或，因为这几个都有2的2次方，值为0

第2位，r1，等于I4，I3，I1异或，值为0

第1位，r0，等于I4，I2，I1异或，值为1

怎么异或得出的这些值，后面看看…

整个编码就是101_0_1_01，其中0，和01是校验位

海明码如何进行纠错？

假设收到的校验码变成了000

• 会将原来的校验位001，这个可以再次生成得出，和这个错误的000，进行异或操作，得出结果001

• 意思是，错误的位置，就在第1位！

如果是010，表示错误位置就是第2位

如果是110，表示错误位置是第6位！

• 如何改错，纠错？将错误位置取反即可，这里就是将第1位取反。

等以后遇到具体题目了，再学习学习…