一、相似的基础知识
1. 特征值和特征向量
1）定义
设 A 为 n 阶矩阵，若 Aα = λα（α ≠ 0），则称 λ 是 A 的特征值，α 是 A 的属于 λ 的特征向量。
2）求解步骤
- 解方程 |λE - A| = 0 ，得到特征值 λ（|λE - A| = 0 是特征方程）
- 解方程组 (λE - A)α = 0 ，得到特征向量 α
【注】：
① 特征向量不为 0 ；
② 若题目求 “全体特征向量” 则需要乘 k ；
③ 如果 λ 是特征值，则 |λE - A| = 0 。
3）特征值的性质
- 【特征值之和 = 迹】λ1 + λ2 + … + λn = tr(A) = Σi=1n aii
- 【特征值之积 = 行列式】λ1 · λ2 · … · λn = |A|
4）特征向量的性质
-
不同特征值对应的特征向量线性无关
设 A 的特征值 λ1 对应的特征向量为 α1 ，λ2 对应的特征向量为 α2 ，λ1 ≠ λ2 ，则 α1 与 α2 线性无关 -
k 重特征值最多对应 k 个线性无关的特征向量
-
同一特征值的特征向量的组合仍是该特征值的特征向量
如果 α1 , α2 , … , αn 都是 A 的属于特征值 λ 的特征向量，则非零向量 k1α1 + k2α2 + … + knαn 也是属于特征值 λ 的特征向量 -
不同特征值对应的特征向量之和不是 A 的特征向量
Aα1 = λ1α1 ，Aα2 = λ2α2 ，其中 α1 ≠ 0 ，α2 ≠ 0 ，则 α1 + α2 不是 A 的特征向量
5）特征值与特征向量的必背结论
| 矩阵 | A | An | A+kE | f(A) | A-1 | A* | P-1AP | AT |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 特征值 | λ | λn | λ+k | f(λ) | 1/λ | 丨A丨/λ | λ | λ |
| 特征向量 | α | α | α | α | α | α | P-1α | / |
【推导】：
-
若 A 的特征向量是 α ，B = P-1AP ，则 B 的特征向量是：P-1α
已知 Aα = λα ，则 PBP-1α = λα ，推出 BP-1α = λP-1α -
若 B 的特征向量是 α ，A = P-1BP ，则 A 的特征向量是：P-1α
已知 Bα = λα ，则 PAP-1α = λα ，推出 AP-1α = λP-1α -
若 B 的特征向量是 α ，A = PAP-1 ，则 A 的特征向量是：Pα
已知 Bα = λα ，则 P-1APα = λα ，推出 BPα = λPα
2. 普通矩阵的相似对角化
1）相似
① 相似的定义：设 A 和 B 都是 n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵 P ，使得 P-1AP = B ，则称矩阵 A 和 B 相似，记作 A ~ B。
特别地，如果 A 能与对角矩阵相似，则称 A 可相似对角化，P-1AP = ⋀
② 相似的性质：设 A , B 均为 n 阶矩阵，若 A ~ B ，即 P-1AP = B ，则：
-
行列式：|A| = |B|
|B| = |P-1AP| = |P-1|·|A|·|P| = |A| -
秩：r(A) = r(B)
乘可逆阵 P 不变秩 -
迹：tr(A) = tr(B)
-
特征值：λA = λB
-
特征多项式：|λE - A| = |λE - B|
|λE - B| = |λE - P-1AP| = |λP-1P - P-1A