欧拉函数的定义

欧拉函数 $\phi (N)$，指 $1-N$ 中与 $N$ 互质的数的个数。
当 $N=1$ 时，$\phi (N)=1$ 。当 $N$ 为质数，$\phi (N)=N-1$。

特殊性质

欧拉函数是积性函数，也就是对于两个互质数 $x$ 和 $y$,$\phi (x\times y)=\phi (x)\times \phi (y)$

当 $N$ 是一个大于 $2$ 的整数并且 $\phi (N)$ 是偶数，那么与 $N$ 互质的数的和是 $\frac{N\times \phi (N)}{2}$

${\sum }_{p|N}\phi (p)=N$

如果 $x$ 和 $y$ 互质，那么 $y|(x^{\phi (y)}-1)$。

朴素求$\phi (N)$

据唯一分解定理知 $N=a_1^{b_1}\times ...\times a_k^{b_k}$

也知 $\phi (a_1^{b_1}\times ...\times a_k^{b_k})=\phi (a_1^{b_1})\times ...\times \phi (a_k^{b_k})$

又知 $\phi (a_i^{b_i})=a_i^{b_i}-a_i^{b_i-1}$

那么 $\phi (n)=(a_1^{b_1}-a_1^{b_i-1})\times ...\times (a_k^{b_k}-a_k^{b_k-1})$

把括号拆开 $\phi (n)=a_1^{b_1}\times (1-\frac{1}{a_1})\times ...\times a_k^{b_k}\times (1-\frac{1}{a_k})$

最后 $\phi (n)=a_1^{b_1}\times ...\times a_k^{b_k}\times (1-\frac{1}{a_1})\times ...\times (1-\frac{1}{a_k})=N\times {\Pi }_{i=1}^N(1-\frac{1}{a_i})$

朴素代码

int ans = n;
for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
	while (n % i == 0) {
		ans = ans / i * (i - 1);
		n /= i;
	}
}
if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);

筛法求$\phi (N)$

就是一边筛质数，一边求 $\phi$，可以求出 $1-N$ 内的 $\phi$，时间约 $O(N\log N)$。

memset(a, true, sizeof(a));
k = 0, phi[1] = 1, a[1] = false;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
	if (a[i]) pri[++k] = i, phi[i] = i - 1;
	for (int j = 1; j <= k && i * pri[j] <= n; j++) {
		a[i * pri[j]] = false;
		if (i % pri[j]) phi[i * pri[j]] = phi[i] * phi[pri[j]];
		else {
			phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];
			break;
		}
	}
}