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基于熵权法的TOPSIS模型

基于熵权法的TOPSIS模型

1. 简介

数学建模可以结合 熵权法 T O P S I S TOPSIS TOPSIS 法各自的特点,进行评价,这种组合模型的使用在数学建模比赛中使用的非常多。

在 2023 美赛 O 奖中就有使用该方法的,往年国赛国奖中也有

2. 熵权法介绍

熵值法的主要目的是对指标体系进行赋权

熵越大说明系统越混乱,携带的信息越少,权重越小;熵越小说明系统越有序,携带的信息越多,权重越大。

熵值法是一种客观赋权方法,借鉴了信息熵思想,它通过计算指标的信息熵,根据指标的相对变化程度对系统整体的影响来决定指标的权重,即根据各个指标标志值的差异程度来进行赋权,从而得出各个指标相应的权重,相对变化程度大的指标具有较大的权重。

上方是简单介绍,具体详细原理可以参考我的博客熵权法(EWM)

3.TOPSIS法介绍

TOPSIS法是通过逼近理想解的程度来评估各个样本的优劣等级

在归一化后的原始数据矩阵中,找到有限方案中的最优方案和最劣方案,然后分别计算评价对象与最优方案和最劣方案之间的距离,并以此作为依据来评价样本的优劣等级。

上方是简单介绍,具体详细原理可以参考我的博客优劣解距离法(TOPSIS)

4. 熵权法和 TOPSIS法结合示使用

总体流程图如下所示

在这里插入图片描述

假设有 n n n 个待评价样本, p p p 项评价指标,形成原始指标数据矩阵:

X = ( x 11 . . . x 1 p ⋮ ⋱ ⋮ x n 1 ⋯ x np ) \begin{equation} \mathrm{X}=\begin{pmatrix}\mathrm{x}_{11}&...&\mathrm{x}_{1\text{p}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm{x}_{\text{n}1}&\cdots&\mathrm{x}_{\text{np}} \end{pmatrix} \end{equation} X= x11xn1...x1pxnp

4.1 标准化处理

标准化的同时进行了正向化

在论文中表达只考虑正向指标负向指标

正向指标(极大型) 标准化处理:

x i j ′   =   x j   − x m i n x m a x   − x m i n \begin{equation} \mathrm{x_{ij}^{\prime}~=~\frac{x_j~-x_{min}}{x_{max}~-x_{min}}} \end{equation} xij = xmax xminxj xmin

负向指标(极小型) 标准化处理:

x i j ′   =   x max ⁡   − x j x max ⁡   − x min ⁡ \begin{equation} \mathrm{x_{ij}^{\prime}~=~\frac{x_{\max}~-x_j}{x_{\max}~-x_{\min}}} \end{equation} xij = xmax xminxmax xj

得到矩阵 Z Z Z(此时里面的 x x x右上角应该带上 ′ \prime ,但是为了方便这里任用原矩阵表示):

Z = [ z 11 z 12 ⋯ z 1 m z 21 z 22 ⋯ z 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ z n 1 z n 2 ⋯ z n m ] \begin{equation} Z=\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}&\cdots&z_{1m}\\z_{21}&z_{22}&\cdots&z_{2m}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\z_{n1}&z_{n2}&\cdots&z_{nm}\end{bmatrix} \end{equation} Z= z11z21zn1z12z22zn2z1mz2mznm

4.2 计算比重

p i j = z i j ∑ i = ⁡ 1 n z i j \begin{equation} p_{ij}=\frac{ z_{ij}}{\sum_{i\operatorname{=}1}^n z_{ij}} \end{equation} pij=i=1nzijzij

4.3 求熵权

e j = − 1 ln ⁡ n ∑ i = 1 n p i j ln ⁡ p i j ,   e j ∈ [ 0 , 1 ] \begin{equation} e_j = -\frac{1}{\ln n} \sum_{i=1}^n p_{ij} \ln p_{ij}, ~ e_j \in [0, 1] \end{equation} ej=lnn1i=1npijlnpij, ej[0,1]

4.4 信息冗余值

d j = 1 − e j \begin{equation} d_j=1-e_j \end{equation} dj=1ej

求熵权信息冗余值这两步可以合为如下公式:(2023美赛EO奖论文23073362312411中使用这种方式,节省空间并且显得更有规格)

d j = 1 + 1 ln ⁡ n ∑ i = 1 n p i j ln ⁡ p i j ,   \begin{equation} d_j=1+\frac1{\ln n}\sum_{i=1}^np_{ij}\ln p_{ij},\mathrm{~} \end{equation} dj=1+lnn1i=1npijlnpij, 

4.5 定权

w j   =   d j ∑ j = 1 p d j \begin{equation} {w_j~=~\frac{d_j}{\sum_{j=1}^pd_j}} \end{equation} wj = j=1pdjdj

4.6 构造加权矩阵

将之前标准化的矩阵和带权矩阵相乘作为 T O P S I S TOPSIS TOPSIS 法原始数据

z i j ∗   =   z i j   ⋅   w j \begin{equation} \mathrm{z_{ij}^*~=~z_{ij}~\cdot~w_j} \end{equation} zij = zij  wj

得到加权矩阵

Z ∗ = [ z 11 ⋅ w 1 z 12 ⋅ w 2 ⋯ z 1 p ⋅ w p z 21 ⋅ w 1 z 22 ⋅ w 2 ⋯ z 2 p ⋅ w p ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ z n 1 ⋅ w 1 z n 2 ⋅ w 2 ⋯ z n p ⋅ w p ] \begin{equation} \mathrm{Z}^*=\begin{bmatrix}\mathrm{z}_{11}\cdot\mathrm{w}_{1}&\mathrm{z}_{12}\cdot\mathrm{w}_{2}&\cdots&\mathrm{z}_{1\mathrm{p}}\cdot\mathrm{w}_{\mathrm{p}}\\\mathrm{z}_{21}\cdot\mathrm{w}_{1}&\mathrm{z}_{22}\cdot\mathrm{w}_{2}&\cdots&\mathrm{z}_{2\mathrm{p}}\cdot\mathrm{w}_{\mathrm{p}}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\mathrm{z}_{\mathrm{n}1}\cdot\mathrm{w}_{1}&\mathrm{z}_{\mathrm{n}2}\cdot\mathrm{w}_{2}&\cdots&\mathrm{z}_{\mathrm{n}\mathrm{p}}\cdot\mathrm{w}_{\mathrm{p}}\end{bmatrix} \end{equation} Z= z11w1z21w1zn1w1z12w2z22w2zn2w2z1pwpz2pwpznpwp

4.7 最优、最劣距离

D i + = ∑ j ( z i j ∗ − z j ∗ + ) 2 D i − = ∑ j ( z i j ∗ − z j ∗ − ) 2 \begin{equation} \begin{aligned}\mathrm{D_i^+=\sqrt{\sum_j\left(z_{ij}^*-z_j^{*+}\right)^2}}\\\\\\\mathrm{D_i^-=\sqrt{\sum_j\left(z_{ij}^*-z_j^{*-}\right)^2}}\end{aligned} \end{equation} Di+=j(zijzj∗+)2 Di=j(zijzj∗−)2

4.8 构造相对接近度

C i = D i − D i + + D i − \begin{equation} \mathrm{C_i}=\frac{\mathrm{D_i^-}}{\mathrm{D_i^++D_i^-}} \end{equation} Ci=Di++DiDi

根据 C i C_i Ci 的大小进行排序, C i C_i Ci 越大,表明评价对象越接近最优值。

4.9 接近度归一化(求权重)

此时可在进行对打分进行归一化(可有可无,根据题目要求即可)

5. 步骤

  1. 将原始数据进行标准化处理
  2. 用熵值法计算各指标的权重
  3. 将权重和标准化的数据相乘后的数据作为 T O P S I S TOPSIS TOPSIS 原始数据
  4. T O P S I S TOPSIS TOPSIS 法计算各评价对象与最优方案的接近程度 C i Ci Ci (即各样本的综合评价指数)
  5. 根据 C i Ci Ci 进行排序,结合综合评价指数进行分析。

参考

https://tanxg.blog.csdn.net/article/details/105901229

https://blog.csdn.net/u014356002/article/details/132982280

https://blog.csdn.net/weixin_57449924/article/details/123850208

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