题型
填空（10道题左右）、证明题、计算题、应用题
证明题
考察：第一章习题
题目
证明集合 ( S ) 是凸集
集合 ( S ) 定义如下：
S = { ( x 1 , x 2 ) ∣ x 1 + 2 x 2 ≥ 1 , x 1 − x 2 ≥ 1 } S = \{(x_1, x_2) \mid x_1 + 2x_2 \geq 1, x_1 - x_2 \geq 1 \} S={(x1,x2)∣x1+2x2≥1,x1−x2≥1}
为了证明 S S S 是凸集，我们需要验证对任意的 ( x 1 , y 1 ) ∈ S (x_1, y_1)\in S (x1,y1)∈S和 ( x 2 , y 2 ) ∈ S (x_2, y_2) \in S (x2,y2)∈S，以及任意的 λ ∈ [ 0 , 1 ] \lambda \in [0, 1] λ∈[0,1]，线性组合
λ ( x 1 , y 1 ) + ( 1 − λ ) ( x 2 , y 2 ) \lambda (x_1, y_1) + (1 - \lambda) (x_2, y_2) λ(x1,y1)+(1−λ)(x2,y2)
也在 S S S 中。即，我们需要证明
λ ( x 1 + 2 y 1 ) + ( 1 − λ ) ( x 2 + 2 y 2 ) ≥ 1 \lambda (x_1 + 2y_1) + (1 - \lambda) (x_2 + 2y_2) \geq 1 λ(x1+2y1)+(1−λ)(x2+2y2)≥1
和
λ ( x 1 − y 1 ) + ( 1 − λ ) ( x 2 − y 2 ) ≥ 1 \lambda (x_1 - y_1) + (1 - \lambda) (x_2 - y_2) \geq 1 λ(x1−y1)+(1−λ)(x2−y2)≥1
成立。
第一个不等式
考虑 ( x 1 , y 1 ) ∈ S (x_1, y_1) \in S (x1,y1)∈S和 ( x 2 , y 2 ) ∈ S (x_2, y_2) \in S (x2,y2)∈S，根据定义有
x 1 + 2 y 1 ≥ 1 和 x 2 + 2 y 2 ≥ 1 x_1 + 2y_1 \geq 1 \quad \text{和} \quad x_2 + 2y_2 \geq 1 x1+2y1≥1和x2+2y2≥1
对于 λ ∈ [ 0 , 1 ] \lambda \in [0, 1] λ∈[0,1]，我们考虑点
z = λ ( x 1 , y 1 ) + ( 1 − λ ) ( x 2 , y 2 ) = ( λ x 1 + ( 1 − λ ) x 2 , λ y 1 + ( 1 − λ ) y 2 ) z = \lambda (x_1, y_1) + (1 - \lambda) (x_2, y_2) = (\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2, \lambda y_1 + (1 - \lambda) y_2) z=λ(x1,y1)+(1−λ)(x2,y2)=(λx1+(1−λ)x2,λy1+(1−λ)y2)
那么
z 1 + 2 z 2 = ( λ x 1 + ( 1 − λ ) x 2 ) + 2 ( λ y 1 + ( 1 − λ ) y 2 ) z_1 + 2z_2 = (\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2) + 2 (\lambda y_1 + (1 - \lambda) y_2) z1+2z2=(λx1+(1−λ)x2)+2(λy1+(1−λ)y2)
= λ ( x 1 + 2 y 1 ) + ( 1 − λ ) ( x 2 + 2 y 2 ) = \lambda (x_1 + 2y_1) + (1 - \lambda) (x_2 + 2y_2) =λ(x1+2y1)+(1−λ)(x2+2y2)
由于 x 1 + 2 y 1 ≥ 1 x_1 + 2y_1 \geq 1 x1+2y1≥1 和 x 2 + 2 y 2 ≥ 1 x_2 + 2y_2 \geq 1 x2+2y2≥1，我们有
λ ( x 1 + 2 y 1 ) + ( 1 − λ ) ( x 2 + 2 y 2 ) ≥ λ ⋅ 1 + ( 1 − λ ) ⋅ 1 = 1 \lambda (x_1 + 2y_1) + (1 - \lambda) (x_2 + 2y_2) \geq \lambda \cdot 1 + (1 - \lambda) \cdot 1 = 1 λ(x1+2y1)+(1−λ)(x2+2y2)≥λ⋅1+(1−λ)⋅1=1
因此，第一个不等式成立。
第二个不等式
同样地，考虑 ( x 1 , y 1 ) ∈ S (x_1, y_1) \in S (x1,y1)∈S 和 ( x 2 , y 2 ) ∈ S (x_2, y_2) \in S (x2,y2)∈S,根据定义有
x 1 − y 1 ≥ 1 和 x 2 − y 2 ≥ 1 x_1 - y_1 \geq 1 \quad \text{和} \quad x_2 - y_2 \geq 1 x1−y1≥1和x2−y2≥1
对于 λ ∈ [ 0 , 1 ] \lambda \in [0, 1] λ∈[0,1]，我们考虑点
z = λ ( x 1 , y 1 ) + ( 1 − λ ) ( x 2 , y 2 ) = ( λ x 1 + ( 1 − λ ) x 2 , λ y 1 + ( 1 − λ ) y 2 ) z = \lambda (x_1, y_1) + (1 - \lambda) (x_2, y_2) = (\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2, \lambda y_1 + (1 - \lambda) y_2) z=λ(x1,y1)+(1−λ)(x2,y2)=(λx1+(1−λ)x2,λy1+(1−λ)y2)
那么
z 1 − z 2 = ( λ x 1 + ( 1 − λ ) x 2 ) − ( λ y 1 + ( 1 − λ ) y 2 ) z_1 - z_2 = (\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2) - (\lambda y_1 + (1 - \lambda) y_2) z1−z2=(λx1+(1−λ)x2)−(λy1+(1−λ)y2)
= λ ( x 1 − y 1 ) + ( 1 − λ ) ( x 2 − y 2 ) = \lambda (x_1 - y_1) + (1 - \lambda) (x_2 - y_2) =λ(x1−y1)+(1−λ)(x2−y2)
由于 x 1 − y 1 ≥ 1 x_1 - y_1 \geq 1 x1−y1≥1 和 x 2 − y 2 ≥ 1 x_2 - y_2 \geq 1 x2−y2≥1，我们有
λ ( x 1 − y 1 ) + ( 1 − λ ) ( x 2 − y 2 ) ≥ λ ⋅ 1 + ( 1 − λ ) ⋅ 1 = 1 \lambda (x_1 - y_1) + (1 - \lambda) (x_2 - y_2) \geq \lambda \cdot 1 + (1 - \lambda) \cdot 1 = 1 λ(x1−y1)+(1−λ)(x2−y2)≥λ⋅1+(1−λ)⋅1=1
因此，第二个不等式也成立。
S S S是凸集。