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【最优化方法】期末考试题型讲解部分 - 凸集的证明

题型

填空(10道题左右)、证明题、计算题、应用题

证明题

考察:第一章习题

题目

在这里插入图片描述

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证明集合 ( S ) 是凸集

集合 ( S ) 定义如下:

S = { ( x 1 , x 2 ) ∣ x 1 + 2 x 2 ≥ 1 , x 1 − x 2 ≥ 1 } S = \{(x_1, x_2) \mid x_1 + 2x_2 \geq 1, x_1 - x_2 \geq 1 \} S={(x1,x2)x1+2x21,x1x21}

为了证明 S S S 是凸集,我们需要验证对任意的 ( x 1 , y 1 ) ∈ S (x_1, y_1)\in S (x1,y1)S ( x 2 , y 2 ) ∈ S (x_2, y_2) \in S (x2,y2)S,以及任意的 λ ∈ [ 0 , 1 ] \lambda \in [0, 1] λ[0,1],线性组合

λ ( x 1 , y 1 ) + ( 1 − λ ) ( x 2 , y 2 ) \lambda (x_1, y_1) + (1 - \lambda) (x_2, y_2) λ(x1,y1)+(1λ)(x2,y2)

也在 S S S 中。即,我们需要证明

λ ( x 1 + 2 y 1 ) + ( 1 − λ ) ( x 2 + 2 y 2 ) ≥ 1 \lambda (x_1 + 2y_1) + (1 - \lambda) (x_2 + 2y_2) \geq 1 λ(x1+2y1)+(1λ)(x2+2y2)1

λ ( x 1 − y 1 ) + ( 1 − λ ) ( x 2 − y 2 ) ≥ 1 \lambda (x_1 - y_1) + (1 - \lambda) (x_2 - y_2) \geq 1 λ(x1y1)+(1λ)(x2y2)1

成立。

第一个不等式

考虑 ( x 1 , y 1 ) ∈ S (x_1, y_1) \in S (x1,y1)S ( x 2 , y 2 ) ∈ S (x_2, y_2) \in S (x2,y2)S,根据定义有

x 1 + 2 y 1 ≥ 1 和 x 2 + 2 y 2 ≥ 1 x_1 + 2y_1 \geq 1 \quad \text{和} \quad x_2 + 2y_2 \geq 1 x1+2y11x2+2y21

对于 λ ∈ [ 0 , 1 ] \lambda \in [0, 1] λ[0,1],我们考虑点

z = λ ( x 1 , y 1 ) + ( 1 − λ ) ( x 2 , y 2 ) = ( λ x 1 + ( 1 − λ ) x 2 , λ y 1 + ( 1 − λ ) y 2 ) z = \lambda (x_1, y_1) + (1 - \lambda) (x_2, y_2) = (\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2, \lambda y_1 + (1 - \lambda) y_2) z=λ(x1,y1)+(1λ)(x2,y2)=(λx1+(1λ)x2,λy1+(1λ)y2)

那么

z 1 + 2 z 2 = ( λ x 1 + ( 1 − λ ) x 2 ) + 2 ( λ y 1 + ( 1 − λ ) y 2 ) z_1 + 2z_2 = (\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2) + 2 (\lambda y_1 + (1 - \lambda) y_2) z1+2z2=(λx1+(1λ)x2)+2(λy1+(1λ)y2)

= λ ( x 1 + 2 y 1 ) + ( 1 − λ ) ( x 2 + 2 y 2 ) = \lambda (x_1 + 2y_1) + (1 - \lambda) (x_2 + 2y_2) =λ(x1+2y1)+(1λ)(x2+2y2)

由于 x 1 + 2 y 1 ≥ 1 x_1 + 2y_1 \geq 1 x1+2y11 x 2 + 2 y 2 ≥ 1 x_2 + 2y_2 \geq 1 x2+2y21,我们有

λ ( x 1 + 2 y 1 ) + ( 1 − λ ) ( x 2 + 2 y 2 ) ≥ λ ⋅ 1 + ( 1 − λ ) ⋅ 1 = 1 \lambda (x_1 + 2y_1) + (1 - \lambda) (x_2 + 2y_2) \geq \lambda \cdot 1 + (1 - \lambda) \cdot 1 = 1 λ(x1+2y1)+(1λ)(x2+2y2)λ1+(1λ)1=1

因此,第一个不等式成立。

第二个不等式

同样地,考虑 ( x 1 , y 1 ) ∈ S (x_1, y_1) \in S (x1,y1)S ( x 2 , y 2 ) ∈ S (x_2, y_2) \in S (x2,y2)S,根据定义有

x 1 − y 1 ≥ 1 和 x 2 − y 2 ≥ 1 x_1 - y_1 \geq 1 \quad \text{和} \quad x_2 - y_2 \geq 1 x1y11x2y21

对于 λ ∈ [ 0 , 1 ] \lambda \in [0, 1] λ[0,1],我们考虑点

z = λ ( x 1 , y 1 ) + ( 1 − λ ) ( x 2 , y 2 ) = ( λ x 1 + ( 1 − λ ) x 2 , λ y 1 + ( 1 − λ ) y 2 ) z = \lambda (x_1, y_1) + (1 - \lambda) (x_2, y_2) = (\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2, \lambda y_1 + (1 - \lambda) y_2) z=λ(x1,y1)+(1λ)(x2,y2)=(λx1+(1λ)x2,λy1+(1λ)y2)

那么

z 1 − z 2 = ( λ x 1 + ( 1 − λ ) x 2 ) − ( λ y 1 + ( 1 − λ ) y 2 ) z_1 - z_2 = (\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2) - (\lambda y_1 + (1 - \lambda) y_2) z1z2=(λx1+(1λ)x2)(λy1+(1λ)y2)

= λ ( x 1 − y 1 ) + ( 1 − λ ) ( x 2 − y 2 ) = \lambda (x_1 - y_1) + (1 - \lambda) (x_2 - y_2) =λ(x1y1)+(1λ)(x2y2)

由于 x 1 − y 1 ≥ 1 x_1 - y_1 \geq 1 x1y11 x 2 − y 2 ≥ 1 x_2 - y_2 \geq 1 x2y21,我们有

λ ( x 1 − y 1 ) + ( 1 − λ ) ( x 2 − y 2 ) ≥ λ ⋅ 1 + ( 1 − λ ) ⋅ 1 = 1 \lambda (x_1 - y_1) + (1 - \lambda) (x_2 - y_2) \geq \lambda \cdot 1 + (1 - \lambda) \cdot 1 = 1 λ(x1y1)+(1λ)(x2y2)λ1+(1λ)1=1

因此,第二个不等式也成立。

S S S是凸集。

END

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