【0-1背包】例题之Leetcode416 分割等和子集与 LeetCode 1049 最后一块石头的重量

为什么将这两道题放在一起呢，因为这两道题思路非常相似，适合练习后巩固

一、Leetcode 416 分割等和子集

（一）、题目描述

（二）、思路

通常【背包问题】相关的题都是在考验我们将问题转化为「背包问题」的能力。

由于本题是问我们能否将一个数组分成两个「等和」子集。

问题等效于能否从数组中挑选若干个元素，使得元素总和等于所有元素总和的一半。

将这道题转化为【背包问题】应该是：

我们背包容量为 target=sum/2，每个数组元素的「价值」与「重量」都是其数值大小，求我们能否装满背包。

（三）、解题方法

首先题目所说将数组分为两个子集，则数组中每个元素只能用一次，所以我们应该直接想到【0-1背包】。那么我们可以直接套用【0-1背包】问题的方法。

如果还不了解【0-1背包】问题的小伙伴可以点击这【0-1背包】和【完全背包】详解学习一下【0-1背包】问题。

1.确定dp数组及下标的含义:

【0-1背包】中，dp[j] 表示：容量为j的背包，所背的物品价值最大可以为dp[j]。本题中每一个元素的数值既是重量，也是价值。套到本题，dp[j] 表示背包总容量（所能装的总重量）是 j ，放进物品后，背的最大重量为 dp[j]。

2.确定递推公式

【01背包】的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。

所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

3.初始化dp数组：

从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0，其次其他位置也要初始化为0。

这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

（四）、代码

class Solution {
public:
    //动态规划算法
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        sort(nums.begin(),nums.end());
        int sum=0;
        for(auto& num:nums)
            sum+=num;
        if(sum%2==1)
            return false;
        int target=sum/2;
        vector<int> dp(10001,0);
        for(int i=0;i<nums.size();i++)
        {
            for(int j=target;j>=nums[i];j--)
            {
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);
            }
        }
        if(dp[target]==target)
            return true;
        return false;
    }
};

二、LeetCode 1049 最后一块石头的重量

（一）、题目描述

（二）、思路

首先来理解一下这道题，每次取两个石头相撞的到最小的重量，那么是不是可以像上面那道题一样将石头大致分为重量相同的两堆，只有两堆石头重量大致相同，两堆相减才能得到最小值。那么这道题和上面那道题就是同样的解法了。

（三）、解题方法

1.确定dp数组及下标的含义:

本题中每一个元素的数值既是重量，也是价值。套到本题，dp[j] 表示：背包重量为 j 可以装石头最大重量。

2.确定递推公式

01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题则是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);

3.初始化dp数组：

既然 dp[j]中的 j 表示容量，那么最大容量（重量）是多少呢，就是所有石头的重量和。

因为提示中给出1 <= stones.length <= 30，1 <= stones[i] <= 100，所以最大重量就是30 * 100 。

而我们要求的target其实只是最大重量的一半，所以dp数组开到1500大小就可以了。

当然也可以把石头遍历一遍，计算出石头总重量然后除2，得到dp数组的大小。为了方便我这里就直接用1500了。

我们在这里直接将 dp 数组全部赋值为0，这样dp[j]才不会初始值所覆盖。从递推公式中看出 dp[0] = 1,否则如果 dp[0] 为0的时候后面一切结果都是0。

（四）、代码

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
        int sum=0;
        for(auto& stone:stones)
            sum+=stone;
        int target=sum/2;
        vector<int> dp(1501,0);
        for(int i=0;i<stones.size();i++)
        {
            for(int j=target;j>=stones[i];j--)
            {
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i]);
            }
        }
        return sum-dp[target]-dp[target];
    }
};

总结

这就是本期博客的全部内容了，如果还想了解更多有关【0-1背包】类型的问题请看我的【动态规划之0-1背包】专栏。

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