Bootstrap

C++深入理解AVL树的设计与实现：旋转操作详解

C++深入理解AVL树的设计与实现：旋转操作详解

AVL树（Adelson-Velsky and Landis Tree）是一种自平衡二叉搜索树，通过在插入和删除节点时进行旋转操作来保持树的平衡。AVL树的每个节点都维护一个平衡因子，即左右子树的高度差，确保其绝对值不超过1。本文将详细介绍如何实现一个AVL树，并提供旋转操作的实现细节。

一、AVL树的基本概念

AVL树是一种高度平衡的二叉搜索树，其特点是每个节点的左右子树高度差不超过1。AVL树的平衡性保证了其查找、插入和删除操作的时间复杂度为O(log n)。

二、AVL树的节点设计

在C++中，我们可以使用类来定义AVL树的节点。每个节点包含数据域、左子节点指针、右子节点指针和高度信息。以下是节点类的定义：

class AVLNode {
public:
    int key;
    int height;
    AVLNode* left;
    AVLNode* right;

    AVLNode(int k) : key(k), height(1), left(nullptr), right(nullptr) {}
};
三、AVL树的类设计

AVL树类需要包含根节点指针，并提供插入、删除和查找操作的接口。以下是AVL树类的定义：

class AVLTree {
private:
    AVLNode* root;

    // 辅助函数
    int height(AVLNode* node);
    int getBalance(AVLNode* node);
    AVLNode* rightRotate(AVLNode* y);
    AVLNode* leftRotate(AVLNode* x);
    AVLNode* insert(AVLNode* node, int key);
    AVLNode* minValueNode(AVLNode* node);
    AVLNode* deleteNode(AVLNode* root, int key);

public:
    AVLTree() : root(nullptr) {}

    void insert(int key);
    void deleteNode(int key);
    void inOrder();
    void preOrder();
    void postOrder();
};
四、旋转操作的实现

AVL树的旋转操作包括右旋、左旋、左右旋和右左旋。旋转操作用于在插入或删除节点后恢复树的平衡。

  1. 右旋操作：
AVLNode* AVLTree::rightRotate(AVLNode* y) {
    AVLNode* x = y->left;
    AVLNode* T2 = x->right;

    // 执行旋转
    x->right = y;
    y->left = T2;

    // 更新高度
    y->height = max(height(y->left), height(y->right)) + 1;
    x->height = max(height(x->left), height(x->right)) + 1;

    // 返回新的根节点
    return x;
}
  1. 左旋操作：
AVLNode* AVLTree::leftRotate(AVLNode* x) {
    AVLNode* y = x->right;
    AVLNode* T2 = y->left;

    // 执行旋转
    y->left = x;
    x->right = T2;

    // 更新高度
    x->height = max(height(x->left), height(x->right)) + 1;
    y->height = max(height(y->left), height(y->right)) + 1;

    // 返回新的根节点
    return y;
}
  1. 获取节点高度：
int AVLTree::height(AVLNode* node) {
    if (node == nullptr) return 0;
    return node->height;
}
  1. 获取节点平衡因子：
int AVLTree::getBalance(AVLNode* node) {
    if (node == nullptr) return 0;
    return height(node->left) - height(node->right);
}
五、插入操作的实现

插入操作需要在插入新节点后检查并恢复树的平衡。以下是插入操作的实现：

AVLNode* AVLTree::insert(AVLNode* node, int key) {
    // 1. 执行标准的BST插入
    if (node == nullptr) return new AVLNode(key);

    if (key < node->key) {
        node->left = insert(node->left, key);
    } else if (key > node->key) {
        node->right = insert(node->right, key);
    } else {
        return node; // 不允许插入重复键
    }

    // 2. 更新节点高度
    node->height = 1 + max(height(node->left), height(node->right));

    // 3. 获取节点平衡因子
    int balance = getBalance(node);

    // 4. 检查平衡因子并进行相应的旋转操作
    // LL情况
    if (balance > 1 && key < node->left->key) {
        return rightRotate(node);
    }

    // RR情况
    if (balance < -1 && key > node->right->key) {
        return leftRotate(node);
    }

    // LR情况
    if (balance > 1 && key > node->left->key) {
        node->left = leftRotate(node->left);
        return rightRotate(node);
    }

    // RL情况
    if (balance < -1 && key < node->right->key) {
        node->right = rightRotate(node->right);
        return leftRotate(node);
    }

    return node;
}

void AVLTree::insert(int key) {
    root = insert(root, key);
}
六、删除操作的实现

删除操作需要在删除节点后检查并恢复树的平衡。以下是删除操作的实现：

AVLNode* AVLTree::deleteNode(AVLNode* root, int key) {
    // 1. 执行标准的BST删除
    if (root == nullptr) return root;

    if (key < root->key) {
        root->left = deleteNode(root->left, key);
    } else if (key > root->key) {
        root->right = deleteNode(root->right, key);
    } else {
        if ((root->left == nullptr) || (root->right == nullptr)) {
            AVLNode* temp = root->left ? root->left : root->right;

            if (temp == nullptr) {
                temp = root;
                root = nullptr;
            } else {
                *root = *temp;
            }
            delete temp;
        } else {
            AVLNode* temp = minValueNode(root->right);
            root->key = temp->key;
            root->right = deleteNode(root->right, temp->key);
        }
    }

    if (root == nullptr) return root;

    // 2. 更新节点高度
    root->height = 1 + max(height(root->left), height(root->right));

    // 3. 获取节点平衡因子
    int balance = getBalance(root);

    // 4. 检查平衡因子并进行相应的旋转操作
    // LL情况
    if (balance > 1 && getBalance(root->left) >= 0) {
        return rightRotate(root);
    }

    // LR情况
    if (balance > 1 && getBalance(root->left) < 0) {
        root->left = leftRotate(root->left);
        return rightRotate(root);
    }

    // RR情况
    if (balance < -1 && getBalance(root->right) <= 0) {
        return leftRotate(root);
    }

    // RL情况
    if (balance < -1 && getBalance(root->right) > 0) {
        root->right = rightRotate(root->right);
        return leftRotate(root);
    }

    return root;
}

void AVLTree::deleteNode(int key) {
    root = deleteNode(root, key);
}
七、遍历操作的实现

为了验证AVL树的正确性，我们可以实现中序、前序和后序遍历操作：

void inOrderHelper(AVLNode* root) {
    if (root != nullptr) {
        inOrderHelper(root->left);
        cout << root->key << " ";
        inOrderHelper(root->right);
    }
}

void AVLTree::inOrder() {
    inOrderHelper(root);
    cout << endl;
}

void preOrderHelper(AVLNode* root) {
    if (root != nullptr) {
        cout << root->key << " ";
        preOrderHelper(root->left);
        preOrderHelper(root->right);
    }
}

void AVLTree::preOrder() {
    preOrderHelper(root);
    cout << endl;
}

void postOrderHelper(AVLNode* root) {
    if (root != nullptr) {
        postOrderHelper(root->left);
        postOrderHelper(root->right);
        cout << root->key << " ";
    }
}

void AVLTree::postOrder() {
    postOrderHelper(root);
    cout << endl;
}
八、完整代码示例

以下是完整的AVL树实现代码：

#include <iostream>
using namespace std;

class AVLNode {
public:
    int key;
    int height;
    AVLNode* left;
    AVLNode* right;

    AVLNode(int k) : key(k),

好的，我们继续实现AVL树的完整代码：

```cpp
#include <iostream>
using namespace std;

class AVLNode {
public:
    int key;
    int height;
    AVLNode* left;
    AVLNode* right;

    AVLNode(int k) : key(k), height(1), left(nullptr), right(nullptr) {}
};

class AVLTree {
private:
    AVLNode* root;

    int height(AVLNode* node) {
        if (node == nullptr) return 0;
        return node->height;
    }

    int getBalance(AVLNode* node) {
        if (node == nullptr) return 0;
        return height(node->left) - height(node->right);
    }

    AVLNode* rightRotate(AVLNode* y) {
        AVLNode* x = y->left;
        AVLNode* T2 = x->right;

        x->right = y;
        y->left = T2;

        y->height = max(height(y->left), height(y->right)) + 1;
        x->height = max(height(x->left), height(x->right)) + 1;

        return x;
    }

    AVLNode* leftRotate(AVLNode* x) {
        AVLNode* y = x->right;
        AVLNode* T2 = y->left;

        y->left = x;
        x->right = T2;

        x->height = max(height(x->left), height(x->right)) + 1;
        y->height = max(height(y->left), height(y->right)) + 1;

        return y;
    }

    AVLNode* insert(AVLNode* node, int key) {
        if (node == nullptr) return new AVLNode(key);

        if (key < node->key) {
            node->left = insert(node->left, key);
        } else if (key > node->key) {
            node->right = insert(node->right, key);
        } else {
            return node;
        }

        node->height = 1 + max(height(node->left), height(node->right));

        int balance = getBalance(node);

        if (balance > 1 && key < node->left->key) {
            return rightRotate(node);
        }

        if (balance < -1 && key > node->right->key) {
            return leftRotate(node);
        }

        if (balance > 1 && key > node->left->key) {
            node->left = leftRotate(node->left);
            return rightRotate(node);
        }

        if (balance < -1 && key < node->right->key) {
            node->right = rightRotate(node->right);
            return leftRotate(node);
        }

        return node;
    }

    AVLNode* minValueNode(AVLNode* node) {
        AVLNode* current = node;
        while (current->left != nullptr) {
            current = current->left;
        }
        return current;
    }

    AVLNode* deleteNode(AVLNode* root, int key) {
        if (root == nullptr) return root;

        if (key < root->key) {
            root->left = deleteNode(root->left, key);
        } else if (key > root->key) {
            root->right = deleteNode(root->right, key);
        } else {
            if ((root->left == nullptr) || (root->right == nullptr)) {
                AVLNode* temp = root->left ? root->left : root->right;

                if (temp == nullptr) {
                    temp = root;
                    root = nullptr;
                } else {
                    *root = *temp;
                }
                delete temp;
            } else {
                AVLNode* temp = minValueNode(root->right);
                root->key = temp->key;
                root->right = deleteNode(root->right, temp->key);
            }
        }

        if (root == nullptr) return root;

        root->height = 1 + max(height(root->left), height(root->right));

        int balance = getBalance(root);

        if (balance > 1 && getBalance(root->left) >= 0) {
            return rightRotate(root);
        }

        if (balance > 1 && getBalance(root->left) < 0) {
            root->left = leftRotate(root->left);
            return rightRotate(root);
        }

        if (balance < -1 && getBalance(root->right) <= 0) {
            return leftRotate(root);
        }

        if (balance < -1 && getBalance(root->right) > 0) {
            root->right = rightRotate(root->right);
            return leftRotate(root);
        }

        return root;
    }

    void inOrderHelper(AVLNode* root) {
        if (root != nullptr) {
            inOrderHelper(root->left);
            cout << root->key << " ";
            inOrderHelper(root->right);
        }
    }

    void preOrderHelper(AVLNode* root) {
        if (root != nullptr) {
            cout << root->key << " ";
            preOrderHelper(root->left);
            preOrderHelper(root->right);
        }
    }

    void postOrderHelper(AVLNode* root) {
        if (root != nullptr) {
            postOrderHelper(root->left);
            postOrderHelper(root->right);
            cout << root->key << " ";
        }
    }

public:
    AVLTree() : root(nullptr) {}

    void insert(int key) {
        root = insert(root, key);
    }

    void deleteNode(int key) {
        root = deleteNode(root, key);
    }

    void inOrder() {
        inOrderHelper(root);
        cout << endl;
    }

    void preOrder() {
        preOrderHelper(root);
        cout << endl;
    }

    void postOrder() {
        postOrderHelper(root);
        cout << endl;
    }
};

int main() {
    AVLTree tree;
    tree.insert(10);
    tree.insert(20);
    tree.insert(30);
    tree.insert(40);
    tree.insert(50);
    tree.insert(25);

    cout << "中序遍历: ";
    tree.inOrder();

    cout << "前序遍历: ";
    tree.preOrder();

    cout << "后序遍历: ";
    tree.postOrder();

    tree.deleteNode(40);
    cout << "删除40后的中序遍历: ";
    tree.inOrder();

    return 0;
}
九、总结

本文详细介绍了如何实现一个AVL树，并提供了旋转操作的实现细节。通过右旋、左旋、左右旋和右左旋操作，我们可以在插入和删除节点后保持树的平衡。AVL树在实际应用中具有广泛的用途，例如数据库索引、内存管理等。希望本文对你理解AVL树的实现有所帮助，并能在面试中展示你的编程能力和对C++语言特性的理解。

如果你有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我！😊

悦读

道可道，非常道；名可名，非常名。 无名，天地之始，有名，万物之母。 故常无欲，以观其妙，常有欲，以观其徼。 此两者，同出而异名，同谓之玄，玄之又玄，众妙之门。

最新收录
python 快速开发_神奇的Kivy，让Python快速开发移动app
JavaWeb 速通Servlet（Servlet和HttpServlet）
HTML5与CSS3
Java与智能数据分析：挖掘大数据中的价值与洞察
go-zero
HttpClient用法
Idea中Mybatis逆向工程
PaddleClas套件——PP-ShiTuV2模型详解
移位运算 and 原码、反码、补码
Matlab 中输入希腊字母
;