几何函数

如何描述一个2D的几何形状？如何描述偏微分方程求解中所涉及的2D几何区域？

偏微分方程定义域

这个几何形状是PDE求解的区域。也就是说偏微分方程这个区域中取值（初始值和状态值、系数），在区域的边界上设定边界条件。

$$m\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}+d\frac{\partial u}{\partial t}-\nabla \cdot (c\nabla u)+au=f$$

或者，方程组

$$\mathbf{m}\frac{{\partial }^2\mathbf{u}}{\partial t^2}+\mathbf{d}\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}-\nabla \cdot (\mathbf{c}\otimes \nabla \mathbf{u})+\mathbf{au}=\mathbf{f}$$

在区域中进行考虑，准确的说是方程中的变量$u$、$\mathbf{u}$定义在区域上，所以$\nabla$也在区域的两个坐标$x,y$上定义。

$$\nabla ={\left[\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y}\right]}^{\text{T}}$$

根据偏微分方程的特性，只有单联通区域中的值才会相互影响，这就为描述区域提供了一些约束，这些约束可以大大简化积分区域的描述。

区域的假设与推论

1. 2D区域是互不相交的单联通区域的并集 $\mathbb{D}$
2. 不失一般性，假设$\mathbb{D}$为单个单联通区域
3. 一个单联通区域可能把整个的 ${\mathbb{R}}^2$ 分割为 $n+1$个单联通子区域 { D i } \{D_i\} {Di​}，$i=0,1,2,\dots ,n$，不失一般性假设$D_0=\mathbb{D}$
4. 一个单联通区域有若干闭环边界 { Ω i } \{\Omega_i\} {Ωi​}，$i=1,2,\dots ,n$
5. 进一步，可设$D_0$的外边界对应${\Omega }_1$，且$D_1,D_2,\dots ,D_n$为互不相交单联通区域，且

$$\mathbb{D}=D_0-D_1-D_2-\dots -D_n$$

这样，我们就把这个2D几何区域简化成一个单联通的区域，这个单联通区域中可能挖去了0个或者若干个单联通区域。只有一阶嵌套。

所以，问题简化为，如何描述一个闭环边界$\Omega$包围的单联通区域$D$？

描述函数

通用讨论

要描述这样的一个区域，跟描述其闭环边界是同一个意思。$xy$平面的曲线，写成参数方程就是$\left(x(t),y(t)\right)$，还能对$t$有一些约束条件，比如$t\propto s$，这里$s$为曲线的长度坐标。

这是显式的方法，当然还有隐式的方法，比如

$$a^2{x}^2+b^2{y}^2=1$$

就是一个椭圆曲线。

其实还有一种描述方法就是距离函数，signed distance function。

将区域的内部定义为正向，区域的外部定义为负向，把平面上一个点到曲线的最近距离定义为函数的值：

$$\theta (x,y)=\{\begin{array}{rlr}-d_{min}& & x,y\text{ outside}\\ 0& & x,y\text{ on curve}\\ d_{min}& & x,y\text{ inside}\end{array}$$

这个描述也有一些很好玩的特性。

Matlab PDE工具箱的实现

Matlab PDE工具箱的fegeometry可以用一个函数句柄（称为几何函数）来描述2D形状，对这个函数，Matlab进行了如下的约定：

1. 每一个闭合曲线/区域（称为区域），用至少两个曲线（称为边）来描述，这个曲线集合中的曲线，仅仅能在头、尾除相连；
2. 根据输入参数的个数，函数范围相关的信息来描述区域

几何函数的范围值定义如下：

1. 0个输入参数n=geomFunc;：返回边的条数
2. 1个输入参数d=geomFunc(bs);：输入为一个数组（长度为$n$），边的编号，返回一个矩阵$4\times n$，每列（4行）代表一个边，起点的参数$t_0$，终点的参数$t_1$，左边区域的标签，右边区域的标签。这里的区域标签就对应着子区域的编号，约定，区域外部的编号为0
3. 2个输入参数[x,y]=geomFunc(bs, s);：这里的s就代表曲线长度的数组（长度为$n$），bs对应为边，可以是一个标量（这个标量会广播到每一个s），也可以是一个长度为$n$的向量，程序返回对应点的坐标x和y。

这里唯一有意思的就是左边和右边的定义问题。按照曲线参数方程的定义，一个曲线

$$[x(t),y(t){]}^{\text{T}},t\in [0,s]$$

按照参数增长的方向，前进的左边和右边就是这里定义的左和右。因此，曲线的起点和终点的定义是最终影响左、和右的关键。

例子

上面的定义很清楚，那么下面就是例子。第一个例子当然是Matlab自带的一个例子，就是一个圆。

edit circleg

就能看到这个函数的源代码。

function [x,y]=circleg(bs,s)
nbs=4; % Number of boundary segments

d=[0 0 0 0   % Start parameter value
   1 1 1 1   % End parameter value
   1 1 1 1   % Left hand region
   0 0 0 0]; % Right hand region

start_angles = [0;pi/2;pi;3*pi/2];
switch nargin
    case 0
        x=nbs; 
    case 1    
        x=d(:,bs);
    case 2
        if isscalar(bs)
            bs = repmat(bs,size(s));
        end
        x = zeros(size(s));
        y = zeros(size(s));
        for i = 1:numel(s)
           segment = bs(i);
           offset = pi/2*s(i);
           angle = start_angles(segment)+offset;
           x(i) = cos(angle);
           y(i) = sin(angle);            
        end
end

这里，很容易可以反推出：

1. 由四条曲线来描述一个圆；
2. 每个曲线的参数范围都是从0到1，曲线左边为内部区域，右边为外部区域
3. 这里还用了数组bs作为坐标来索引d矩阵
4. 最后，在计算坐标位置时，可以看到，四个曲线的起点分别为0,pi/2,pi和 3pi/2,然后，每个去线段的长度对应弧度pi/2。

那么，如果我们要用两个曲线来描述一个圆，会是什么样的呢？

function [x,y]=circleg2(bs,s)

nbs=2; % Number of boundary segments

d=[0 0   % Start parameter value
    1 1   % End parameter value
    1 1   % Left hand region
    0 0]; % Right hand region

start_angles = [0;pi];
switch nargin
    case 0
        x=nbs;
    case 1
        x=d(:,bs);
    case 2
        if isscalar(bs)
            bs = repmat(bs,size(s));
        end
        x = zeros(size(s));
        y = zeros(size(s));
        for i = 1:numel(s)
            segment = bs(i);
            offset = pi*s(i);
            angle = start_angles(segment)+offset;
            x(i) = cos(angle);
            y(i) = sin(angle);
        end
end

调用下面的函数输出区域：

结果输出代码：

tiledlayout(1, 2);

nexttile;
pdegplot(@circleg,"EdgeLabels","on","FaceLabels","on", "VertexLabels", "on");
set(gca, 'XLim', [-1.1, 1.1], 'YLim', [-1.1, 1.1]); 
title('cirgleg');

nexttile;
pdegplot(@circleg2,"EdgeLabels","on","FaceLabels","on", "VertexLabels", "on");
set(gca, 'XLim', [-1.1, 1.1], 'YLim', [-1.1, 1.1]); 
title('cirgleg2');

exportgraphics(gcf, 'circleg.png')

>> fegeometry(@circleg)

ans = 

  fegeometry - 属性:

       NumFaces: 1
       NumEdges: 4
    NumVertices: 4
       NumCells: 0
       Vertices: [4x2 double]
           Mesh: []


>> fegeometry(@circleg2)

ans = 

  fegeometry - 属性:

       NumFaces: 1
       NumEdges: 2
    NumVertices: 3
       NumCells: 0
       Vertices: [3x2 double]
           Mesh: []

这两个函数产生的几何体，区别就在于边的条数和节点的个数：

• 4条曲线，对应4个边，4个端点
• 2条曲线，对应2条边，3个端点

我不是很理解的是为什么，4条曲线时，进行了正确的端点合并，而2条曲线时，端点没有正确合并？

>> fegeometry(@circleg2).Vertices

ans =

    1.0000         0
   -1.0000    0.0000
    1.0000   -0.0000


>> fegeometry(@circleg).Vertices

ans =

    0.0000    1.0000
   -1.0000    0.0000
   -0.0000   -1.0000
    1.0000   -0.0000

会影响网格吗？

tiledlayout(1,2);

nexttile;
pdeplot(generateMesh(fegeometry(@circleg)).Mesh);
title('circleg');

nexttile;
pdeplot(generateMesh(fegeometry(@circleg2)).Mesh);
title('circleg2'); 

exportgraphics(gcf, 'circleg-circleg2.png')

看起来没有什么影响。

当然，还是有一个影响，就是在设定元素的网格尺寸时，过少的边会减少设定的精确性，所以在建立几何条件是，应该充分考虑网格加密的设定问题。

tiledlayout(2,2)
nexttile;
g = generateMesh(fegeometry(@circleg2), 'Hvertex', {[1], 0.01})
pdeplot(g.Mesh);
title('circleg2');
nexttile;
g = generateMesh(fegeometry(@circleg2), 'Hvertex', {[2], 0.01})
pdeplot(g.Mesh);
title('circleg2');
nexttile;
g = generateMesh(fegeometry(@circleg2), 'Hvertex', {[3], 0.01})
pdeplot(g.Mesh);
title('circleg2');

nexttile;
g = generateMesh(fegeometry(@circleg2), 'Hedge', {[1], 0.01})
pdeplot(g.Mesh);
title('circleg2');

可以看到，在进行加密时，这两个点没有正确归并并没有影响。同时，更多的边能够提供更好的网格加密控制力度，比如这里，就只能对单个边进行加密，而采用circleg函数的4边描述法，还能够更加精细地控制加密区域。

tiledlayout(2,2)
nexttile;
g = generateMesh(fegeometry(@circleg), 'Hvertex', {[1], 0.01})
pdeplot(g.Mesh);
title('circleg');
nexttile;
g = generateMesh(fegeometry(@circleg), 'Hvertex', {[2], 0.01})
pdeplot(g.Mesh);
title('circleg');
nexttile;
g = generateMesh(fegeometry(@circleg), 'Hvertex', {[3], 0.01})
pdeplot(g.Mesh);
title('circleg');

nexttile;
g = generateMesh(fegeometry(@circleg), 'Hedge', {[1], 0.01})
pdeplot(g.Mesh);
title('circleg');

总结

Matlab PDE工具箱约定了一个显式描述积分区域的方法。上面介绍了基本的单边界单联通简单区域的函数定义方法，并简单探讨了对网格生成的影响。