• 冒泡排序（Bubble Sort）

• 选择排序（Selection Sort）

• 插入排序（Insertion Sort）

• 归并排序（Merge Sort）

• 快速排序（Quick Sort）

• 堆排序（Heap Sort）

1. 冒泡排序（Bubble Sort）

算法描述： 冒泡排序通过重复遍历要排序的序列，每次比较相邻的两个元素。如果它们的顺序错误就交换它们的位置。每次遍历后，最大的元素会被“冒泡”到序列的最后。

算法步骤：

1. 从第一个元素开始，依次比较每两个相邻元素，如果它们的顺序不对，则交换它们。

2. 重复步骤1，直到没有元素需要交换。

代码示例：

#include <iostream>
#include <vector>
​
void bubbleSort(std::vector<int>& arr) {
    int n = arr.size();
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
        for (int j = 0; j < n - i - 1; ++j) {
            if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                std::swap(arr[j], arr[j + 1]);
            }
        }
    }
}
​
int main() {
    std::vector<int> arr = {64, 34, 25, 12, 22, 11, 90};
    bubbleSort(arr);
    for (int i : arr) {
        std::cout << i << " ";
    }
    return 0;
}

时间复杂度：

• 最坏情况：O(n²)

• 最好情况：O(n)（当序列已经有序时）

• 平均情况：O(n²)

2. 选择排序（Selection Sort）

算法描述： 选择排序每次从未排序的部分中选出最小的元素，并将其放到已排序部分的末尾。这样，每次排序后，未排序部分的最小值会被移到正确的位置。

算法步骤：

1. 从未排序部分中找到最小（或最大）元素。

2. 将这个元素与未排序部分的第一个元素交换。

3. 重复步骤1和步骤2，直到排序完成。

代码示例：

#include <iostream>
#include <vector>
​
void selectionSort(std::vector<int>& arr) {
    int n = arr.size();
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
        int minIndex = i;
        for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
            if (arr[j] < arr[minIndex]) {
                minIndex = j;
            }
        }
        std::swap(arr[i], arr[minIndex]);
    }
}
​
int main() {
    std::vector<int> arr = {64, 25, 12, 22, 11};
    selectionSort(arr);
    for (int i : arr) {
        std::cout << i << " ";
    }
    return 0;
}

时间复杂度：

• 最坏情况：O(n²)

• 最好情况：O(n²)

• 平均情况：O(n²)

3. 插入排序（Insertion Sort）

算法描述： 插入排序通过构建有序序列，将未排序的数据插入到有序序列中。它适合少量数据的排序，且数据基本有序时效率较高。

算法步骤：

1. 从第二个元素开始，假设前面的元素已经有序。

2. 对于当前元素，在前面的有序序列中找到合适的位置插入。

3. 重复步骤1和步骤2，直到排序完成。

代码示例：

#include <iostream>
#include <vector>
​
void insertionSort(std::vector<int>& arr) {
    int n = arr.size();
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        int key = arr[i];
        int j = i - 1;
        while (j >= 0 && arr[j] > key) {
            arr[j + 1] = arr[j];
            --j;
        }
        arr[j + 1] = key;
    }
}
​
int main() {
    std::vector<int> arr = {12, 11, 13, 5, 6};
    insertionSort(arr);
    for (int i : arr) {
        std::cout << i << " ";
    }
    return 0;
}

时间复杂度：

• 最坏情况：O(n²)

• 最好情况：O(n)

• 平均情况：O(n²)

4. 归并排序（Merge Sort）

算法描述： 归并排序是一种典型的分治算法，它将序列分为两个子序列，分别排序后再合并。归并排序的效率较高，适用于处理大规模数据。

算法步骤：

1. 将序列分为两个子序列。

2. 分别对两个子序列进行递归排序。

3. 合并两个已排序的子序列。

代码示例：

#include <iostream>
#include <vector>
​
void merge(std::vector<int>& arr, int left, int mid, int right) {
    int n1 = mid - left + 1;
    int n2 = right - mid;
​
    std::vector<int> L(n1), R(n2);
    for (int i = 0; i < n1; ++i)
        L[i] = arr[left + i];
    for (int i = 0; i < n2; ++i)
        R[i] = arr[mid + 1 + i];
​
    int i = 0, j = 0, k = left;
    while (i < n1 && j < n2) {
        if (L[i] <= R[j]) {
            arr[k] = L[i];
            i++;
        } else {
            arr[k] = R[j];
            j++;
        }
        k++;
    }
​
    while (i < n1) {
        arr[k] = L[i];
        i++;
        k++;
    }
​
    while (j < n2) {
        arr[k] = R[j];
        j++;
        k++;
    }
}
​
void mergeSort(std::vector<int>& arr, int left, int right) {
    if (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        mergeSort(arr, left, mid);
        mergeSort(arr, mid + 1, right);
        merge(arr, left, mid, right);
    }
}
​
int main() {
    std::vector<int> arr = {38, 27, 43, 3, 9, 82, 10};
    mergeSort(arr, 0, arr.size() - 1);
    for (int i : arr) {
        std::cout << i << " ";
    }
    return 0;
}

时间复杂度：

• 最坏情况：O(n log n)

• 最好情况：O(n log n)

• 平均情况：O(n log n)

5. 快速排序（Quick Sort）

算法描述： 快速排序通过选择一个基准元素，将序列分为两个子序列，一个子序列的元素都小于基准，另一个子序列的元素都大于基准，然后对两个子序列递归排序。

算法步骤：

1. 选择一个基准元素。

2. 将比基准元素小的放到左边，比基准元素大的放到右边。

3. 对左右子序列递归排序。

代码示例：

#include <iostream>
#include <vector>
​
int partition(std::vector<int>& arr, int low, int high) {
    int pivot = arr[high];
    int i = low - 1;
    for (int j = low; j < high; ++j) {
        if (arr[j] < pivot) {
            ++i;
            std::swap(arr[i], arr[j]);
        }
    }
    std::swap(arr[i + 1], arr[high]);
    return i + 1;
}
​
void quickSort(std::vector<int>& arr, int low, int high) {
    if (low < high) {
        int pi = partition(arr, low, high);
        quickSort(arr, low, pi - 1);
        quickSort(arr, pi + 1, high);
    }
}
​
int main() {
    std::vector<int> arr = {10, 7, 8, 9, 1, 5};
    quickSort(arr, 0, arr.size() - 1);
    for (int i : arr) {
        std::cout << i << " ";
    }
    return 0;
}

时间复杂度：

• 最坏情况：O(n²)

• 最好情况：O(n log n)

• 平均情况：O(n log n)

6. 堆排序（Heap Sort）

算法描述： 堆排序通过构建最大堆来实现。堆是一种特殊的完全二叉树结构，堆排序的关键在于维护堆的性质。

算法步骤：

1. 构建最大堆。

2. 将堆顶元素与末尾元素交换，并调整堆。

3. 重复步骤2，直到排序完成。

代码示例：

#include <iostream>
#include <vector>
​
void heapify(std::vector<int>& arr, int n, int i) {
    int largest = i;
    int left = 2 * i + 1;
    int right = 2 * i + 2;
​
    if (left < n && arr[left] > arr[largest])
        largest = left;
​
    if (right < n && arr[right] > arr[largest])
        largest = right;
​
    if (largest != i) {
        std::swap(arr[i], arr[largest]);
        heapify(arr, n, largest);
    }
}
​
void heapSort(std::vector<int>& arr) {
    int n = arr.size();
    for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; --i)
        heapify(arr, n, i);
​
    for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
        std::swap(arr[0], arr[i]);
        heapify(arr, i, 0);
    }
}
​
int main() {
    std::vector<int> arr = {12, 11, 13, 5, 6, 7};
    heapSort(arr);
    for (int i : arr) {
        std::cout << i << " ";
    }
    return 0;
}

时间复杂度：

• 最坏情况：O(n log n)

• 最好情况：O(n log n)

• 平均情况：O(n log n)

总结

不同排序算法的时间复杂度不同，适用的场景也不尽相同：

• 冒泡排序、选择排序、插入排序 适用于小规模、近乎有序的数据。

• 归并排序、快速排序、堆排序 适用于大规模、无序的数据。