十、【机器学习】【监督学习】-线性回归

系列文章目录

前言

在先前的文章系列中，我们深入探讨了机器学习的基础框架和算法分类，为读者构建了关于这一领域的坚实理论基础。本章节我们将焦点转向监督学习领域中的一个核心算法—— 线性回归，旨在详尽解析其内在逻辑、应用实践及重要参数调整策略。

一、基本定义

（一）、监督学习

监督学习（Supervised Learning）是机器学习中的一种主要方法，其核心思想是通过已知的输入-输出对（即带有标签的数据集）来训练模型，从而使模型能够泛化到未见的新数据上，做出正确的预测或分类。在监督学习过程中，算法“学习”的依据是这些已标记的例子，目标是找到输入特征与预期输出之间的映射关系。

（二）、监督学习的基本流程

数据收集：获取包含输入特征和对应正确输出标签的训练数据集。
        数据预处理：清洗数据，处理缺失值，特征选择与转换，标准化或归一化数据等，以便于模型学习。
        模型选择：选择合适的算法，如决策树、支持向量机、神经网络等。
        训练：使用训练数据集调整模型参数，最小化预测输出与实际标签之间的差距（损失函数）。
        验证与调优：使用验证集评估模型性能，调整超参数以优化模型。
        测试：最后使用独立的测试集评估模型的泛化能力，确保模型不仅在训练数据上表现良好，也能在未见过的新数据上做出准确预测。

（三）、监督学习分类算法（Classification）

定义：分类任务的目标是学习一个模型，该模型能够将输入数据分配到预定义的几个类别中的一个。这是一个监督学习问题，需要有一组已经标记好类别的训练数据，模型会根据这些数据学习如何区分不同类别。
例子：垃圾邮件检测（垃圾邮件 vs. 非垃圾邮件）、图像识别（猫 vs. 狗）。

二、线性回归

（一）、定义

线性回归是一种统计分析方法，用于确定两个或多个变量间是否存在线性关系，特别是当一个或多个自变量（特征）与一个连续型的因变量（目标）之间存在线性依赖关系时。线性回归的目标是找到一个线性模型，使得模型的预测值与实际观测值之间的差异最小化。

（二）、基本概念

模型形式：线性回归模型通常表示为，其中𝑦是因变量，𝑥1,𝑥2,...,𝑥𝑛是自变量，𝛽0,𝛽1,...,𝛽𝑛是模型参数，𝜖是误差项，假设服从均值为0的正态分布。
一元线性回归：当模型仅涉及一个自变量时，称为一元线性回归。
多元线性回归：当模型涉及两个或更多自变量时，称为多元线性回归。
损失函数：在训练过程中，通常使用均方误差（MSE）作为损失函数，即预测值与真实值差的平方和的平均值。
参数估计：线性回归的参数（𝛽0,𝛽1,...,𝛽𝑛）可通过最小化损失函数得到，常用的方法是最小二乘法或梯度下降法。

（三）、训练过程

初始化参数：设定初始参数值𝛽0和𝛽1。
损失函数：定义损失函数，通常是残差平方和（RSS），即∑𝑖=1𝑛(𝑦𝑖−(𝛽0+𝛽1𝑥𝑖))2∑i=1n(yi−(β0+β1xi))2。
参数更新：通过梯度下降或最小二乘法等优化算法，迭代更新参数，直到损失函数收敛至最小值。
评估模型：使用训练集外的数据（验证集或测试集）评估模型的泛化能力。

（四）、特点

简单性和透明性：模型易于理解和解释。
线性假设：假设自变量与因变量之间的关系是线性的。
正态性假设：误差项通常假设服从正态分布。
敏感性：对异常值较为敏感，异常值可能导致模型参数的显著偏差。

（五）、适用场景

预测分析：如预测销售量、房价、股价等。
趋势分析：分析时间序列数据的趋势，如气温变化。
因果关系探究：在控制其他变量的情况下，研究某个变量对结果的影响。

（六）、扩展

多项式回归：引入自变量的高次项，以处理非线性关系。
岭回归：在损失函数中添加L2正则化项，以防止过拟合。
LASSO回归：使用L1正则化，既可以防止过拟合，又能进行特征选择。
弹性网回归：结合L1和L2正则化，平衡了岭回归和LASSO的优点。
广义线性模型：允许因变量服从其他概率分布，如泊松分布或二项分布，适用于分类或计数数据。

三、总结

线性回归是数据分析和机器学习中的一项基础技术，虽然在处理复杂非线性关系时可能受限，但其在数据科学中的地位仍然十分重要。

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