样本方差为何除以n-1?

　　方差的概念从小学就开始建立了。对于一个随机变量 $X$ ， $\mu,\sigma^2$ 分别表示其数学期望和方差，从中随机抽取n个样本 $X_1,X_2,\ldots,X_n$ ， $\overline X=\sum_{i=1}^nX_i$ 是样本均值， $S^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X )^2$ 是样本方差。那么为什么样本方差是除以 $n-1$ 而不是n呢？

　　这里涉及到一个无偏估计的概念， $X$ 是随机变量， $X_i,\overline X, S^2$ 同样也是随机变量，其中 $\overline X,S^2$ 是对 $X$ 总体 $\mu,\sigma^2$ 的一个估计，如果 $\overline X,S^2$ 的期望分别等于 $\mu,\sigma^2$ 的话，就说这种估计是无偏的。容易证明 $E(\overline X)=\mu$ ，但是 $E(S^2)=E(\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X )^2)=\sigma^2$ 的证明就不是那么显而易见了，下面我证明给大家看。记 $D(X_i),E(X_i)$ 为 $X_i$ 的方差和期望。

$\large\begin{array}{rcl}D(\overline X)&=&D(\frac1n\sum_{i=1}^nX_i)\\[10pt]&=&\frac1{n^2}D(\sum_{i=1}^nX_i)\\[10pt]&=&\frac1{n^2}(\sum_{i=1}^nD(X_i))\\[10pt]&=&\frac{\sigma^2}n \\[10pt]\\E({\overline X}^2)&=&D(\overline X)+E^2(\overline X)\\&=&\frac{\sigma^2}n+\mu^2 \\\\E(S^2)&=&E(\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X )^2) \\[10pt] &=& \frac1{n-1}E(\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X )^2) \\[10pt] &=& \frac1{n-1}E(\sum_{i=1}^n(X_i^2- 2 X_i{\overline X}+{\overline X}^2 ))\\[10pt]\\E(\sum_{i=1}^nX_i^2)&=&n E(X_i^2) \\ &=& n(D(X_i)+E^2(X_i)) \\ &=& n(\sigma^2+\mu^2) \\\\E(\sum_{i=1}^nX_i{\overline X})&=&E({\overline X}\sum_{i=1}^nX_i) \\[10pt] &=& nE({\overline X}^2)\\[10pt] &=& n(D(\overline X) + E^2(\overline X)) \\[10pt] &=& n(\frac{\sigma^2}{n}+\mu^2) \\[10pt]\\E(S^2) &=& \frac n{n-1}(\sigma^2+\mu^2)-\frac n{n-1}(\frac{\sigma^2}n+\mu^2) \\ &=& \sigma^2 \\\end{array}$
证毕～～

　　写这篇文章可费了不少劲，大部分时间都花在了公式的编辑上面，这样写文章是不是很ooxx：

Editor using LaTeX

　　但比起用Mathtype编辑然后上传来说，要省多了，尤其是在熟练以后。

样本方差为何除以n-1?

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