[USACO1.5] 回文质数 Prime Palindromes

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P1217 [USACO1.5] 回文质数 Prime Palindromes

题目描述

因为 $151$ 既是一个质数又是一个回文数（从左到右和从右到左是看一样的），所以 $151$ 是回文质数。

写一个程序来找出范围 $\le a < b \le 100,000,000)$ （一亿）间的所有回文质数。

输入格式

第一行输入两个正整数 $a$ 和 $b$ 。

输出格式

输出一个回文质数的列表，一行一个。

样例输入 #1

5 500

样例输出 #1

提示

提示 1: 找出所有的回文数再判断它们是不是质数（素数）.

提示 2: 要产生正确的回文数，你可能需要几个像下面这样的循环。

产生长度为 $5$ 的回文数：

for (d1 = 1; d1 <= 9; d1+=2) {    // 只有奇数才会是素数
     for (d2 = 0; d2 <= 9; d2++) {
         for (d3 = 0; d3 <= 9; d3++) {
           palindrome = 10000*d1 + 1000*d2 +100*d3 + 10*d2 + d1;//(处理回文数...)
         }
     }
 }

重要：11的整倍数有一个性质，那就是奇数位上数字之和=偶数位上数字之和。而4、6、8等偶数长度的回文数都满足此性质，都是11的倍数，因此除11之外，任意偶数长度的回文数都不可能为质数

为了减少计算，可以加一些判断条件，例如 (a<=1000 && b>=100) 才有可能存在三位的回文素数，如果给定的数据范围不匹配，可以跳过生成三位的回文数。其他类同。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool isPrime(int num) {
	if(num < 2) return false;
	for(int i=2; i*i<=num; i++) {
		if(num%i==0) return false;
	}
	return true;
}
int main() {
	int a, b;
	cin>>a>>b;
	//处理100以内的回文素数：5，7，11
	if(a<=5 && b>=5) cout<<5<<endl;
	if(a<=7 && b>=7) cout<<7<<endl;
	if(a<=11 && b>=11) cout<<11<<endl;
	/*
	11的整倍数有一个性质，那就是奇数位上数字之和=偶数位上数字之和。
	而4、6、8等偶数长度的回文数都满足此性质，都是11的倍数，因此除
	11之外，任意偶数长度的回文数都不可能为质数
	*/
	//处理长度为3
	if(a<=1000 && b>=100) {
		for (int d1 = 1; d1 <= 9; d1+=2) { //只有奇数才可能是素数
			for (int d2 = 0; d2 <= 9; d2++) {
				int num = 100*d1 + 10*d2 + d1; //组合回文数
				if(num>=a && num<=b && isPrime(num)) cout<<num<<endl;
			}
		}
	}
	//处理长度为5
	if(a<=100000 && b>=10000) {
		for (int d1 = 1; d1 <= 9; d1+=2) { //只有奇数才可能是素数
			for (int d2 = 0; d2 <= 9; d2++) {
				for (int d3 = 0; d3 <= 9; d3++) {
					int num = 10000*d1 + 1000*d2 +100*d3 + 10*d2 + d1; //组合回文数
					if(num>=a && num<=b && isPrime(num)) cout<<num<<endl;
				}
			}
		}
	}
	//处理长度为7
	if(a<=10000000 && b>=1000000) {
		for (int d1 = 1; d1 <= 9; d1+=2) {    // 只有奇数才会是素数
			for (int d2 = 0; d2 <= 9; d2++) {
				for (int d3 = 0; d3 <= 9; d3++) {
					for (int d4 = 0; d4 <= 9; d4++) {
						int num = 1000000*d1 + 100000*d2 +10000*d3 + 1000*d4 + 100*d3 + 10*d2 + d1; //组合回文数
						if(num>=a && num<=b && isPrime(num)) cout<<num<<endl;
					}
				}
			}
		}
	}
	return 0;
}

补充个一般思路的代码，两个函数用于判断回文和质数，需要注意的是，一定要先进行回文判断，再进行质数判断，因为数量上来看，回文的数量要远小于质数，反过来会超时。另外，右边界需要做一个限定，虽然可能的右边界可以达到一亿，但最大的回文素数只能是7位，右边界限定到9999999，实际上最大的回文质数是9989899，也可以直接以这个数做边界。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool isPrime(int num){
	if(num < 2) return false;
	for(int i=2; i*i<=num; i++){
		if(num%i==0) return false;
	}
	return true;
}
bool isPalindrome(int num){
	int sum=0, k=num;
	while(k){
		sum = sum*10+k%10;
		k/=10;
	}
	return sum==num;
}
int main(){
	int a, b;
	cin>>a>>b;
	for(int i=a; i<=min(b, 9989899); i++){
		if(isPalindrome(i) && isPrime(i)) cout<<i<<endl;
	}
	return 0;
}

再补充个埃氏筛素数预打表的方法，先用埃氏筛素数的方法把所有素数标识出来，同样也需要限制一下边界，筛到一亿会超时。埃氏筛素数打好表之后，就可以先判断素数，再判断回文。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e7+1;
bool flag[N];
//埃氏筛素数 
void func(){
	memset(flag, true, sizeof(flag));
	flag[0]=flag[1]=false;
	for(int i=2; i*i<=N; i++){
		if(flag[i]){
			for(int j=i*i; j<=N; j=j+i){
				flag[j]=false;
			}
		}
	} 
}
bool isPalindrome(int num){
	int sum=0, k=num;
	while(k){
		sum = sum*10+k%10;
		k/=10;
	}
	return sum==num;
}
int main(){
	func(); 
	int a, b;
	cin>>a>>b;
	for(int i=a; i<=min(b, 9989899); i++){
		if(flag[i] && isPalindrome(i)) cout<<i<<endl;
	}
	return 0;
}