计算机的错误计算（十七）

摘要本节介绍相减相消概念：两个相近的数相减，则前面相同的数字会相互抵消。在较为复杂的计算过程中，它往往导致损失精度。

假设

$\left\{\begin{matrix} a = 0.\textcolor{red}{12345678}\,9\times10^{10}, \\ b= 0.\textcolor{red}{12345678}\,8\times10^{10}, \end{matrix}\right.$

它们有 8 位相同有效数字。那么，它们的差为

$a-b=0.\textcolor{red}{12345678}\,9\times10^{10}-0.\textcolor{red}{12345678}\,8\times10^{10}\\=0.\textcolor{blue}{00000000}1\times10^{10}=0.100000000\times10^2.$

这样，相减的过程中抵消掉 8 位数字。即发生了相减相消。为了保留原有的位数，在结尾又添加了 8 个0。

上面的案例虽然损失了前面的有效数字，但是并没有损失精度。

遗憾的是，有时，会损失精度。

例1. 请看计算机的错误计算（十二）中的一个计算案例（保留30 位有效数字）。

已知

$\pi=\underbrace{3.14159265358979323846264338328}_{30\,\,\textup{digits}}$ ，

则有

$10^{20}+\pi-10^{20}\\ \approx10^{20}+0.\underbrace{314159265358979323846264338328}_{30\,\,\textup{digits}}\times10-10^{20} \\ \approx 0.\textcolor{red}{1}\underbrace{\textcolor{red}{0000000000000000000}}_{19\,\, \textup{zeros}}\underbrace{3141592654}_{\textup{Only} \,\,10\,\, \textup{left}}\times10^{21}-10^{20} \\ =0.\underbrace{\textcolor{blue}{00000000000000000000}}_{20\,\, \textup{zeros}}\underbrace{3141592654}_{\textup{Only} \,\,10\,\, \textup{left}}\times10^{21} \\ =0.\underbrace{3141592654}_{10\,\,\textup{digits} }\times10\\ =0.\underbrace{3141592654}_{10\,\,\textup{digits} \,\,\textup{correct}}\underbrace{00000000000000000000}_{20\,\, \textup{digits} \,\,\textup{incorrect}}\times10.$

下面不妨再分析一下其计算过程。

显然，由于被减数

$0.\textcolor{red}{1}\underbrace{\textcolor{red}{0000000000000000000}}_{19\,\, \textup{zeros}}\underbrace{3141592654}_{\textup{Only} \,\,10\,\, \textup{left}}\times10^{21} \\=0.\underbrace{\textcolor{red}{10000000000000000000}}_{20\,\, \textup{digits}}\underbrace{3141592654}_{\textup{Only} \,\,10\,\, \textup{left}}\times10^{21}$

与减数

$10^{20}=0.1\dot{0}\times10^{21}=0.\underbrace{\textcolor{red}{10000000000000000000}}_{20 \,\,\textup{digits}}...\times10^{21}$

具有 20 位相同的数字

$0.\underbrace{\textcolor{red}{10000000000000000000}}_{20 \,\,\textup{digits}}...\times10^{21}$ ,

所以，在相减时，前面的 20 位数字就“相消”了。既然没有了，那么剩下位数不足 30 位，所以需要在其后添加 20个0以补足位数。这样

$10^{20}+\pi-10^{20}=\pi$

的输出不再是正确答案，而是错误答案

$0.\underbrace{3141592654}_{10 \,\,\textup{correct}\,\,\textup{digits}}\underbrace{00000000000000000000}_{20 \,\,\textcolor{red}{\textup{incorrect}}\,\, \textup{digits}}\times10.$

于是，相减相消导致精度的损失（实际是20 位有效数字）。

前面计算机的错误计算（四）与（九）中的一元二次方程与 Tanh函数等的计算问题均是由于相减相消导致的错误计算。

最后，请问：如何避免相减相消（带来的精度损失）？

计算机的错误计算（十七）

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