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【C++笔记】数据结构进阶之二叉搜索树(BSTree)

【C++笔记】数据结构进阶之二叉搜索树(BSTree)

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前言

哈喽，各位小伙伴大家好!上期我们讲了C++三大特性之多态。今天我们来讲一下二叉搜索树(BSTree)。话不多说，我们进入正题！向大厂冲锋
在这里插入图片描述

一.二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
• 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值
• 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值
• 它的左右子树也分别为二叉搜索树
• ⼆叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插人相等的值，具体看使用场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不之持插入相等值，multimap/multiset支持插如相等值

在这里插入图片描述

二.二叉搜索树的性能分析

在这里插入图片描述

二叉搜索树最多查找高度次。因此二叉搜索树的性能取决的树的高度。

  • 最优情况
    最优情况下，二叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其高度为： log2 N

  • 最坏情况
    最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为： N在这里插入图片描述

所以综合而言⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为： O(N)。

那么这样的效率显然是无法满足我们需求的，我们后续需要继续讲解⼆叉搜索树的变形，平衡二叉搜索树AVL树和红黑树，才能适用于我们在内存中存储和搜索数据。

  • 二分查找
    另外需要说明的是，二分查找也可以实现 O(log2 N) 级别的查找效率，但是而分查找有两大缺陷：
  1. 需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。
  2. 插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据⼀般需要挪动数据。

这里也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。

三.二叉搜索树的实现

3.1二叉树的中序遍历


因为_root是私有成员，所以我们可以这样多套一层调用。

void Inorder()
{
	_Inorder(_root);
	cout << endl;
}
void _Inorder(const node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}
	_Inorder(root->left);
	cout << root->_key << " ";
	_Inorder(root->right);
}

3.2二叉搜索树的插入

插入的具体过程如下：

  1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
  2. 树不空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左左，找到空位置，插入新结点。
  3. 如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插入相等的值不要⼀会往右走，⼀会往左走）

bool Insert(const k& x)
{
	if (_root == nullptr)//插入根节点
	{
		_root = new node(x);
		return true;
	}
	node* cur = _root;
	node* parent = nullptr;//记录父亲节点
	while (cur)
	{
		//介质不冗余
		/*if (x < cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->left;
		}
		else if (x > cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->right;
		}
		else
		{
			return false;
		}*/
		//介质冗余
		if (x <= cur->_key)//相等插入左子树
		{
			parent = cur;
			cur = cur->left;
		}
		else if (x > cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->right;
		}
	}
	if (x > parent->_key)
	{
		parent->right = new node(x);
	}
	else//相等插入左子树
	{
		parent->left = new node(x);
	}
	return true;
}

介质冗余：

介质不冗余：
在这里插入图片描述

3.3二叉搜索树的查找

插⼊的具体过程如下：

  1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
  2. 树不空，按⼆叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右⾛，插入值比当前结点小往左走，找到空位
    置，插入新结点。
  3. 如果支持插入相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右走，⼀会往左走）
    在这里插入图片描述
bool Find(const k& x)
{
	node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (x < cur->_key)//节点在左子树
		{
			cur = cur->left;
		}
		else if (x > cur->_key)//节点在右子树
		{
			cur = cur->right;
		}
		else
		{
			return true;//找到target
		}
	}
	return false;
}

3.4二叉搜索树的删除

⾸先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

  • 要删除结点N左右孩子均为空
  • 要删除的结点N左孩子位空，右孩子结点不为空
  • 要删除的结点N右孩子位空，左孩子结点不为空
  • 要删除的结点N左右孩子结点均不为空

对应以上四种情况的解决方案：

  • 左右为空
    把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）

  • 左空右不空
    把N结点的父亲对应孩子指针指向N的右孩子，直接删除N结点

  • 右空左不空
    把N结点的父亲对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点
    在这里插入图片描述

    如果删除根节点直接修改_root。再删除节点即可。

  • 左右均不空
    无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法删除。找N左子树的值最大结点R(最右结点)或者N右子树的值最小结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满足⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转而变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。
    在这里插入图片描述

bool Erase(const k& x)
{
	node* cur = _root;
	node* parent = nullptr;
	while (cur)
	{
		if (x < cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->left;
		}
		else if (x > cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->right;
		}
		else//找到删除节点
		{
			if (cur->left == nullptr)//左为空
			{
				if (cur == _root)//防止删除根节点
				{
					_root = cur->right;
				}
				else//判断连接父亲的左子树还是右子树
				{
					if (cur == parent->left)
					{
						parent->left = cur->right;
					}
					else
					{
						parent->right = cur->right;
					}
				}
				delete cur;
				return true;
			}
			else if (cur->right == nullptr)
			{
				if (cur == _root)//防止删除根节点
				{
					_root = cur->left;
				}
				else//判断连接父亲的左子树还是右子树
				{
					if (cur == parent->left)
					{
						parent->left = cur->left;
					}
					else
					{
						parent->right = cur->left;
					}
				}
				delete cur;
				return true;
			}
			else
			{
			 //替代节点的父亲初始化为删除节点防止不进去循环
				node* replaceparent = cur;//替代节点的父亲
				node* replace = cur->right;
				while (replace->left)//寻找右子树的最小节点
				{
					replaceparent = replace;
					replace = replace->left;
				}
				cur->_key = replace->_key;//替换根节点
				//判断连接父亲的左子树还是右子树
				if (replace == replaceparent->left)
				{
					replaceparent->left = replace->right;
				}
				else
				{
					replaceparent->right = replace->right;
				}
				delete replace;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}

四.二叉搜索树key和key/value使用场景\

4.1key搜索场景

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不支持修改，修改key破坏搜索树结构了。

场景1：小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，车辆进入时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入。

场景2：检查⼀篇英文 章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。

4.2key/value搜索场景

每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进行比较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树支持修改，但是不支持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。

场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中文)，搜索时输入英文，则同时
查找到了英文对应的中文。

场景2：商场无人值守车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，⽤当前时间-入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。

场景3：统计⼀篇文章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第⼀次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。

4.3key_value结构的实现

  • 结构的定义
    把节点封装，key_value多了一个V的类型。
    同时这里using可以当成typedef使用。
//key结构
template<class k>
struct BSTNode
{
	using node = BSTNode<k>;
	k _key;
	node* left;
	node* right;
	BSTNode(const k& key)
		:_key(key)
		, left(nullptr)
		, right(nullptr)
	{}
};
template<class k>
class BSTree
{
	using node = BSTNode<k>;
public:
private:
	node* _root = nullptr;
};
//key_value结构
template<class k, class v>
struct BSTNode
{
	using node = BSTNode<k, v>;
	k _key;
	v _value;
	node* left;
	node* right;
	BSTNode(const k& key, const v& value)
		:_key(key)
		, _value(value)
		, left(nullptr)
		, right(nullptr)
	{}
};
template<class k, class v>
class BSTree
{
	using node = BSTNode<k, v>;
public:
private:
	node* _root = nullptr;
};
  • 查找和删除
    查找和删除的逻辑不需要改变。但是如果想知道查找的节点的value可以返回节点指针。同时如果允许介质冗余的话，那就需要查找中序的第一个，所以我们相同值时，先保留，继续去左子树查找即可。
node* Find(const k& x)
{
	node* ret = nullptr;
	node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (x < cur->_key)
		{
			cur = cur->left;
		}
		else if (x > cur->_key)
		{
			cur = cur->right;
		}
		else
		{
			ret = cur;//保留当前节点
			cur = cur->left;//继续向左子树查找中序的第一个
		}
	}
	return ret;
}
、、key_value结构
  • 插入

插入只需要多插入一个value值即可，逻辑不变。

bool Insert(const k& x, const v& v)
{
	if (_root == nullptr)//插入根节点
	{
		_root = new node(x, v);
		return true;
	}
	node* cur = _root;
	node* parent = nullptr;//保留父亲节点
	while (cur)
	{
		/*介质不冗余*/
		if (x < cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->left;
		}
		else if (x > cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->right;
		}
		else
		{
			return false;
		}
		//介质冗余
		//if (x <= cur->_key)//相等插入到左子树
		//{
		//	parent = cur;
		//	cur = cur->left;
		//}
		//else if (x > cur->_key)
		//{
		//	parent = cur;
		//	cur = cur->right;
		//}
	}
	if (x > parent->_key)
	{
		parent->right = new node(x, v);
	}
	else//相等插入左子树
	{
		parent->left = new node(x, v);
	}
	return true;
}

4.4二叉搜索树的拷贝构造和析构

  • 拷贝构造

直接new构造根节点，再让根节点连接递归构造的左右子树即可。注意如果按照插入的思路构造，那就必须是层序遍历节点插入，否则拷贝出来的子树就不一样。

BSTree(const BSTree<k,v>& x)
{
	_root = Copy(x._root);
}
node* Copy( node* x)
{
	if (x == nullptr)
	{
		return x;
	}
	node* root = new node(x->_key, x->_value);
	root->left =Copy(x->left);
	root->right = Copy(x->right);
	return root;
}
  • 析构
    这里先析构左右子树在析构根节点即可。
	void Destory(const node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return ;
		}
		Destory(root->left);
		Destory(root->right);
		delete root;
	}
	~BSTree()
	{
		Destory(_root);
		_root = nullptr;
	}
  • 赋值

这里先拷贝tmp，然后交换_root指针，函数结束后析构tmp空间。

BSTree<k, v>& operator = (BSTree<k, v> tmp)
{
	swap(_root,tmp._root);
	return *this;
}


后言

这就是数据结构进阶之二叉搜索树(BSTree)。大家自己好好消化！今天就分享到这！感谢各位的耐心垂阅！咱们下期见！拜拜~

悦读

道可道，非常道；名可名，非常名。 无名，天地之始，有名，万物之母。 故常无欲，以观其妙，常有欲，以观其徼。 此两者，同出而异名，同谓之玄，玄之又玄，众妙之门。

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