【数学二】线性代数-行列式

考试要求

行列式考试要求

1、了解行列式的概念，掌握行列式的性质.
2、会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.

矩阵考试要求

1、理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质.
2、掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.
3、理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件.理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.
4、了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.
5、了解分块矩阵及其运算.

行列式

行列式的概念

行列式是一个 数，它是不同行不同列元素乘积的代数和。
例如，三阶行列式子： $\left| \begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix}\right|=a_1a_2a_3 +a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1-b_3c_2a_1-c_3a_2b_1$
在这里插入图片描述

n阶行列式
$\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} &\cdots& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} &\cdots& a_{2n}\\ \vdots & \vdots &\vdots& \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} &\cdots&a_{nn} \end{matrix}\right|$
是所有取自不同行不同列的 $n$ 个元素的乘积： $a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$ 的代数和，这 $j_1,j_2,\cdots ,j_n$ 是 $1,2,\cdots,n$ 的一个排列。当 $j_1,j_2,\cdots ,j_n$ 是偶排列，该项的前面带＋； $j_1,j_2,\cdots ,j_n$ 是奇排列，该项前面带－ , 即 $\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} &\cdots& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} &\cdots& a_{2n}\\ \vdots & \vdots &\vdots& \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} &\cdots&a_{nn} \end{matrix}\right|=\sum_{j_1,j_2,\cdots ,j_n}(-1)^{\tau(j_1,j_2,\cdots ,j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$
$\sum_{j_1,j_2,\cdots ,j_n}$ 表示对所有 $n$ 阶排列求和，上式称为 $n$ 阶行列式的完全展开式。
三阶行列式的对角线法在四阶及以上不可用，计算四阶及以上必须用展开式公式法。

TIPS:
1、所谓排列是指由 $n$ 个数 $1,2,\cdots,n$ 所构成的一个有序数组，通常用 $j_1,j_2,\cdots ,j_n$ 表示 $n$ 阶排列，显然共有 $n!$ 个 $n$ 阶排列。

2、一个排列中，如果一个大的数排在小的数之前，称这两个数构成逆序。一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数，用 $\tau(j_1,j_2,\cdots ,j_n)$ 表示排列 $j_1,j_2,\cdots ,j_n$ 的逆序数。

3、如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则奇排列

例如: $a_{11}a_{24}a_{33}a_{41}$ 是四阶行列式中的一项，那么该项所带符号由 $\tau(2431)$ =1+2+1=4(2有1个逆序，4有两个逆序，3有一个逆序)是偶排列，取正号
$a_{13}a_{25}a_{32}a_{43}a_{54}$ 是5阶行列式中的一项，那么该项所带符号由 $\tau(35124)$ =2+3=5(3有2个逆序，5有3个逆序)是奇排列

练习1：4阶行列式 $|A|=\left| \begin{matrix} 0 & 0 &0& a\\ 0 & 0 &b& 0\\ 0 &c &0& 0\\ d & 0 &0& 0 \end{matrix}\right|$

解： $|A|=A_{14}A_{23}A_{32}A_{41},\tau(4321)=3+2+1=6\\ \quad \\ 故|A|=abcd$

练习2：写出4阶行列式中含有 $a_{12}a_{34}$ 且带负号的项？

解： $a_{12}a_{2j_2}a_{34}a_{4j_4}\Rightarrow j_2j_4只能取13或31的组合\\ \quad \\ 如若：13 ，\tau(2143)=1+0+1=2,为正\\ \quad 如若：31 ，\tau(2341)=1+1+1=3,为负数 \\ \quad \\ 故：a_{12}a_{23}a_{34}a_{41}$

练习3：多项式 $f(x)=\left| \begin{matrix} x & 2x &1& 0\\ 2 & x-1 &1& 3\\ 1 &2 &x&-1\\ x & 5 &6& 2 \end{matrix}\right|$ 中， $x^3$ 的系数为？

解: $通过观察如下子排列会构成x^3:\\ \quad \\ \begin{cases}a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}=(-1)^{\tau(1234)=0}(2x^3-2x^2) \\ \quad \\ a_{12}a_{24}a_{33}a_{41}=(-1)^{\tau(2431)=1+2+1}（6x^3）\end{cases}\\ \quad \\ 综上可知x^3的系数为8$

行列式的性质

记 $|A|=\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} &\cdots& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} &\cdots& a_{2n}\\ \vdots & \vdots &\vdots& \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} &\cdots&a_{nn} \end{matrix}\right|,|A^{T}|=\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{21} &\cdots& a_{n1}\\ a_{12} & a_{22} &\cdots& a_{n2}\\ \vdots & \vdots &\vdots& \vdots\\ a_{1n} & a_{2n} &\cdots&a_{nn} \end{matrix}\right|$ ，行列式 $A^{T}|$ 称为 $∣ A ∣$ 的转置行列式。

性质1 经过转置行列式的值不变，即 $A^{T}|=|A|$

性质2 两行(或列)互换位置，行列式的值变号。

性质3 某行(或列)如果有公因子 $k$ ，则可把 $k$ 提出行列式记号外，即 $k ∣ A ∣$ 。
1 、某行（或列）的元素全为0，则行列式的值为0
2、若两行（或列）的元素对应成比例，行列式的值为0

性质4 如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和。 $\left| \begin{matrix} a_1+b_1 &a_2+b_2 &a_3+b_3 & a_4+b_4 \\ c_1 & c_2 &c_3& c_4\\ d_1 & d_2 &d_3& d_4\\ f_1 & f_2 &f_3&f_4 \end{matrix}\right|=\left| \begin{matrix} a_1&a_2 &a_3 & a_4 \\ c_1 & c_2 &c_3& c_4\\ d_1 & d_2 &d_3& d_4\\ f_1 & f_2 &f_3&f_4 \end{matrix}\right|+\left| \begin{matrix} b_1 &b_2 &b_3 & b_4 \\ c_1 & c_2 &c_3& c_4\\ d_1 & d_2 &d_3& d_4\\ f_1 & f_2 &f_3&f_4 \end{matrix}\right|$

性质5 如果行列式某行(或列)的 $k$ 倍加到另一行(或列)，行列式的值不变。 $\left| \begin{matrix} a_1&a_2 &a_3 & a_4 \\ c_1 & c_2 &c_3& c_4\\ d_1 & d_2 &d_3& d_4\\ f_1 & f_2 &f_3&f_4 \end{matrix}\right|=\left| \begin{matrix} a_1&a_2&a_3& a_4 \\ c_1 & c_2 &c_3& c_4\\ d_1+ka_1 & d_2+ka_2 &d_3+ka_3& d_4+ka_4\\ f_1 & f_2 &f_3&f_4 \end{matrix}\right|$

练习1：证明:任意的 $a, b, c$ 恒有 $\left| \begin{matrix} 1&1 &1 \\ a & b &c\\ b+c & a+c &a+n \end{matrix}\right|$

证： $由行列式性质五可知：\\ \quad \\ \left| \begin{matrix} 1&1 &1 \\ a & b &c\\ b+c & a+c &a+b \end{matrix}\right|\stackrel{r3=r2+r2}=\left| \begin{matrix} 1&1 &1 \\ a & b &c\\ b+c+a & a+c+b &a+b+c \end{matrix}\right|\\ \quad \\ \stackrel{提取(a+b+c)}=(b+c+a)\left| \begin{matrix} 1&1 &1 \\ a & b &c\\ 1 & 1 &1 \end{matrix}\right|\stackrel{r1/r3对应成比例行列式值为0}=(b+c+a)0=0$

练习2：证明 $\left| \begin{matrix} b_1+c_1&c_1+a_1 &a_1+b1 \\ b_2+c_2&c_2+a_2 &a_2+b2\\ b_3+c_3&c_3+a_3 &a_3+b3 \end{matrix}\right|$

证： $令|A|=\left| \begin{matrix} b_1+c_1&c_1+a_1 &a_1+b_1 \\ b_2+c_2&c_2+a_2 &a_2+b_2\\ b_3+c_3&c_3+a_3 &a_3+b_3 \end{matrix}\right|\Rightarrow|A^{T}|=\left| \begin{matrix} b_1+c_1&b_2+c_2 &b_3+c_3 \\ c_1+a_1&c_2+a_2 &c_3+a_3\\ a_1+b_1&a_2+b_2 &a_3+b_3 \end{matrix}\right|\\ \quad \\ 由如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和\\ \quad \\ |A^{T}|=\left| \begin{matrix} b_1+c_1&b_2+c_2 &b_3+c_3 \\ c_1+a_1&c_2+a_2 &c_3+a_3\\ a_1+b_1&a_2+b_2 &a_3+b_3 \end{matrix}\right|=2\left| \begin{matrix} b_1&b_2 &b_3 \\ c_1&c_2 &c_3\\ a_1&a_2 &a_3 \end{matrix}\right|\\ \quad \\ 由经过转置行列式的值不变，即证|A|=2\left| \begin{matrix} b_1&b_2 &b_3 \\ c_1&c_2 &c_3\\ a_1&a_2 &a_3 \end{matrix}\right|$

练习3：证明 $D=\left| \begin{matrix} 0&a_{12} &a_{13} \\ -a_{12} &0 &a_{23}\\ -a_{13}&-a_{23} &0 \end{matrix}\right|=0$

方法1用完全展开式公式证： $D=(-1)^{\tau(123)=0}a_{11}a_{22}a_{33}+(-1)^{\tau(132)=1}a_{11}a_{23}a_{32}+(-1)^{\tau(213)=1}a_{12}a_{21}a_{33}+(-1)^{\tau(231)=2}a_{12}a_{23}a_{31}+(-1)^{\tau(321)=3}a_{13}a_{22}a_{31}+(-1)^{\tau(312)=2}a_{13}a_{21}a_{32}\\ \quad \\ =0-0-0+a_{12}a_{23}a_{31}-0+a_{13}a_{21}a_{32}\\ \quad \\ =-a_{12}a_{23}a_{13}+a_{13}a_{12}a_{23}=0$

方法2用矩阵转置证： $D=\left| \begin{matrix} 0&a_{12} &a_{13} \\ -a_{12} &0 &a_{23}\\ -a_{13}&-a_{23} &0 \end{matrix}\right|\Rightarrow D^{T}=\left| \begin{matrix} 0&-a_{12}&-a_{13} \\ a_{12} &0 &-a_{23}\\ a_{13}&a_{23} &0 \end{matrix}\right|\\ \quad \\ D^{T}\stackrel{每行提取-1}= (-1)^3\left| \begin{matrix} 0&a_{12} &a_{13} \\ -a_{12} &0 &a_{23}\\ -a_{13}&-a_{23} &0 \end{matrix}\right|\\ \quad \\ 由经过转置行列式的值不变，可得D^{T}=-D可知D=0$

行列式按行（或列）展开公式

在 $n$ 阶行列式 $D=\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} &\cdots& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} &\cdots& a_{2n}\\ \vdots & \vdots &\vdots& \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} &\cdots&a_{nn} \end{matrix}\right|$ 其中划去 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行，第 $j$ 列，由剩下元素按原来的位置排法构成的一个 $n - 1$ 阶的行列式 $\left| \begin{matrix} a_{11} & \cdots &a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots& a_{1n}\\ \vdots & \vdots &\vdots& \vdots\\ a_{i-1,1} & \cdots &a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots& a_{i-1,n}\\ a_{i+1,1} & \cdots &a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots& a_{i+1,n}\\ \vdots & \vdots &\vdots& \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} &a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn} \end{matrix}\right|$ 称其为 $a_{ij}$ 的余子式，记为 $M_{ij}$ ；称 $1)^{i+j}M_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式，记为 $A_{ij}$ 即 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

定理 1.1 $n$ 阶行列式等于它的任何一行 (列)元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 $按第i行展开：|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{ik},i=1,2,\cdots,n\\ \quad \\ 按第j列展开：|A|=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}=\sum_{k=1}^{n}a_{kj}A_{kj},j=1,2,\cdots,n$

定理 1.2 行列式的任一行 (列)元素与另一行 (列)元素的代数余子式乘积之和为0
$行：\sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{jk}=a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0,i\ne j \\ \quad \\ 行：\sum_{k=1}^{n}a_{ki}A_{kj}=a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{ni}A_{nj}=0,i\ne j$

1、上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积
在这里插入图片描述

2、关于负对角线的行列式等于负对角线之积乘以 $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$
在这里插入图片描述

3、 拉普拉斯展开式：如果 $A$ 和 $B$ 分别是 $m$ 和 $n$ 阶矩阵，则 $\left| \begin{matrix} A & *\\ O & B \end{matrix}\right|=\left| \begin{matrix} A & O\\* & B \end{matrix}\right|=|A|\cdot|B| \\ \quad \\ \left| \begin{matrix} A & *\\ O & B \end{matrix}\right|=\left| \begin{matrix} O & A\\B & * \end{matrix}\right|=(-1)^{mn}|A|\cdot|B|$

4、范德蒙行列式
$\left| \begin{matrix} 1&1&\cdots & 1\\ x_1&x_2&\cdots & x_n\\ x_1^2&x_2^2&\cdots & x_n^2\\ \vdots&\vdots&\vdots & \vdots\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots & x_n^{n-1} \end{matrix}\right|=\prod_{1\le j <i \le n}(x_i-x_j)$

练习1：计算行列式的值 $\left| \begin{matrix} 1&4&-1 & 4\\ 2&2&2 & 3\\ 3&-1&6 & 2\\ 4&0&5 & 3 \end{matrix}\right|$

解 $\left| \begin{matrix} 1&4&-1 & 4\\ 2&2&2 & 3\\ 3&-1&6 & 2\\ 4&0&5 & 3 \end{matrix}\right|\stackrel{第一行=第一行-2\times第二行}\Longrightarrow \left| \begin{matrix} -3&0&-5 & -2\\ 2&2&2 & 3\\ 3&-1&6 & 2\\ 4&0&5 & 3 \end{matrix}\right|\\ \quad \\ \stackrel{第二行=第二行+2\times第三行}\Longrightarrow \left| \begin{matrix} -3&0&-5 & -2\\ 8&0&14 & 7\\ 3&-1&6 & 2\\ 4&0&5 & 3 \end{matrix}\right|\\ \quad \\ \stackrel{按第二列展开计算}\Longrightarrow (-1)(-1)^{2+3}\left| \begin{matrix} -3&-5 & -2\\ 8&14 & 7\\ 4&5 & 3 \end{matrix}\right| \stackrel{行1=行1+行3}\Longrightarrow \left| \begin{matrix} 1&0 & 1\\ 8&14 & 7\\ 4&5 & 3 \end{matrix}\right| \\ \quad \\ \stackrel{列1=列1-列3}\Longrightarrow \left| \begin{matrix} 0&0 & 1\\ 1&14 & 7\\ 1&5 & 3 \end{matrix}\right|\stackrel{按第一行展开计算}\Longrightarrow (1)(-1)^{1+3}\left| \begin{matrix} 1&14\\ 1&5 \end{matrix}\right|=5-14=-9$

练习2：计算行列式的值 $\left| \begin{matrix} 0&5&2 & 0\\ 8&3&5 & 4\\ 7&2&4 &1\\ 0&4&1 & 0 \end{matrix}\right|$

解： $\left| \begin{matrix} 0&5&2 & 0\\ 8&3&5 & 4\\ 7&2&4 &1\\ 0&4&1 & 0 \end{matrix}\right|\stackrel{按第一行展开计算}\Longrightarrow=5\times(-1)^3\left| \begin{matrix} 8&5 & 4\\ 7&4 &1\\ 0&1 & 0 \end{matrix}\right|+2\times(-1)^4\left| \begin{matrix} 8&3 & 4\\ 7&2 &1\\ 0&4 & 0 \end{matrix}\right|\\ \quad \\ =-5\times 1 (-1)^5\left| \begin{matrix} 8 & 4\\ 7&1\\ \end{matrix}\right|+2\times 4 (-1)^5\left| \begin{matrix} 8& 4\\ 7 &1\\ \end{matrix}\right|=5(8-28)-8(8-28)=60$

练习3：计算行列式的值 $\left| \begin{matrix} a+x&a&a &a\\ a&a+x&a & a\\ a&a&a+x &a\\ a&a&a & a+x \end{matrix}\right|$

解： $\left| \begin{matrix} a+x&a&a &a\\ a&a+x&a & a\\ a&a&a+x &a\\ a&a&a & a+x \end{matrix}\right|\stackrel{r1=r1+r2+r3+r4}\Longrightarrow(x+4a)\left| \begin{matrix} 1&1&1 &1\\ a&a+x&a & a\\ a&a&a+x &a\\ a&a&a & a+x \end{matrix}\right| \\ \quad \\ \stackrel{c4=c4-c1}\Longrightarrow(x+4a)\left| \begin{matrix} 1&1&1 &0\\ a&a+x&a & 0\\ a&a&a+x &0\\ a&a&a & x \end{matrix}\right|\stackrel{ 按第4列展开}\Longrightarrow(x+4a).x.(-1)^8\left| \begin{matrix} 1&1&1 \\ a&a+x&a\\ a&a&a+x \\ \end{matrix}\right|\\ \quad \\ \stackrel{ c3=c3-c1}\Longrightarrow(x+4a).x\left| \begin{matrix} 1&1&0 \\ a&a+x&0\\ a&a&x \\ \end{matrix}\right|\stackrel{ 按第3列展开}\Longrightarrow(x+4a).x.x.(-1)^6\left| \begin{matrix} 1&1 \\ a&a+x\\ \end{matrix}\right|\\ \quad \\ =(x+4a).x^2(a+x-a)=x^3(x+4a)$

练习4：计算行列式的值 $\left| \begin{matrix} 1+x&1&1 &1\\ 1&1-x&1 & 1\\ 1&1&1-y &1\\ 1&1&1 & 1-y \end{matrix}\right|$

解： $\left| \begin{matrix} 1+x&1&1 &1\\ 1&1-x&1 & 1\\ 1&1&1+y &1\\ 1&1&1 & 1-y \end{matrix}\right|\stackrel{ c1=c1-c2}\Longrightarrow\left| \begin{matrix} x&1&1 &1\\ x&1-x&1 & 1\\ 0&1&1+y &1\\ 0&1&1 & 1-y \end{matrix}\right|\\ \quad \\ \stackrel{按r2=r2-r1展开}\Longrightarrow\left| \begin{matrix} x&1&1 &1\\ 0&-x&0& 0\\ 0&1&1+y &1\\ 0&1&1 & 1-y \end{matrix}\right|=x.(-1)^2\left| \begin{matrix} -x&0& 0\\ 1&1+y &1\\ 1&1 & 1-y \end{matrix}\right|\\ \quad \\ \stackrel{一行展开}\Longrightarrow -x^2.(-1)^2\left| \begin{matrix} 1+y &1\\ 1 & 1-y \end{matrix}\right|=x^2y^2 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad$

练习5：已知 $\left| \begin{matrix} \lambda-1&1&-1\\ -2&\lambda-4&2 \\ 3&3&\lambda-5 \end{matrix}\right|=0$ ，求 $\lambda$

解： $\left| \begin{matrix} \lambda-1&1&-1\\ -2&\lambda-4&2 \\ 3&3&\lambda-5 \end{matrix}\right|\stackrel{c3=c3-c2}\Longrightarrow \left| \begin{matrix} \lambda-1&1&0\\ -2&\lambda-4&\lambda-2 \\ 3&3&\lambda-2 \end{matrix}\right|\\ \quad \\ \stackrel{r2=r2-r3}\Longrightarrow \left| \begin{matrix} \lambda-1&1&0\\ -5&\lambda-7&0 \\ 3&3&\lambda-2 \end{matrix}\right|\stackrel{ 按c3展开}\Longrightarrow(\lambda-2)(-1)^6\left| \begin{matrix} \lambda-1&1\\ -5&\lambda-7\\ \end{matrix}\right|=(\lambda-2)^2((\lambda-6))\\ \quad \\ \lambda_1=\lambda_2=2,\lambda_3=6$

克拉默法则

若 $n$ 个方程 $n$ 个未知量构成的非齐次线性方程组
$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\ \quad \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2 \\ \quad \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ \quad \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n \end{cases}$ 的系数行列式 $|A|\ne0$ ，则上式有唯一解，且 $x_i=\frac{|A_i|}{|A|},\quad i=1,2,\cdots,n$ 其中 $A_i|$ 是 $∣ A ∣$ 中第 $i$ 列元素(即 $x_i$ 的系数)替换成方程组右端的常数项 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 所构成的行列式。

注：若 $∣ A ∣ = 0$ ，方程组可能无解，也可能有无穷多解，但一定不是有唯一解。

推论 若包含 $n$ 个方程 $n$ 个未知量的齐次线性方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0 \\ \quad \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0 \\ \quad \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ \quad \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=0 \end{cases}$
的系数行列式 $|A|\ne0$ ，则上式只有零解。若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式必为0，即 $∣ A ∣ = 0$

练习1：方程组 $\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1 \\ \quad \\ 2x_1-x_2-3x_3=0 \\ \quad \\ 4x_1+x_2+9x_3=0\end{cases}$
的解中， $x_1=$ ?

解： $令上述方程系数行列式为D=\left|\begin{matrix} 1&1&1\\ 2&-1&-3\\ 4&1&9\\ \end{matrix}\right| \\ \quad \\ 观察D为范德蒙德行列式：D=\prod_{1\le j <i \le 3}(x_i-x_j)=(-1-2)(-3-2)(-3+1)=-30\\ \quad \\ D_1=\left|\begin{matrix} 1&1&1\\ 0&-1&-3\\ 0&1&9\\ \end{matrix}\right|=1.(-1)^2\left|\begin{matrix} -1&-3\\ 1&9\\ \end{matrix}\right|=-6\\ \quad \\x_1=\frac{D_1}{D}=\frac{-6}{-30}=\frac{1}{5}$