1 问题描述
约瑟夫环（约瑟夫问题）是一个数学的应用问题：已知 n 个人（以编号1，2，3…n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为 k 的人开始报数，数到 m 的那个人出圈；他的下一个人又从 1 开始报数，数到 m 的那个人又出圈；依此规律重复下去，直到剩余最后一个胜利者。
例如：有10个人围成一圈进行此游戏，每个人编号为 1-10 。若规定数到 3 的人出圈。则游戏过程如下。
（1）开始报数，第一个数到 3 的人为 3 号，3 号出圈。
1， 2， 【3】， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10。
（2）从4号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为6号，6号出圈。
1， 2， 【3】， 4， 5， 【6】， 7， 8， 9， 10。
（3）从7号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为9号，9号出圈。
1， 2， 【3】， 4， 5， 【6】， 7， 8， 【9】， 10。
（4）从10号重新从1开始计数，由于10个人称环形结构，则接下来数到3的人为2号，2号出圈。
1， 【2】， 【3】， 4， 5， 【6】， 7， 8， 【9】， 10。
（5）从4号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为7号，7号出圈。
1， 【2】， 【3】， 4， 5， 【6】， 【7】， 8， 【9】， 10。
（6）从8号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为1号，1号出圈。
【1】， 【2】， 【3】， 4， 5， 【6】， 【7】， 8， 【9】， 10。
（7）从4号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为8号，8号出圈。
【1】， 【2】， 【3】， 4， 5， 【6】， 【7】， 【8】， 【9】， 10。
（8）从10号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为5号，5号出圈。
【1】， 【2】， 【3】， 4， 【5】， 【6】， 【7】， 【8】， 【9】， 10。
（9）从10号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为10号，10号出圈。
【1】， 【2】， 【3】， 4， 【5】， 【6】， 【7】， 【8】， 【9】， 【10】。
（10）最终剩余 4 号，4 号为胜利者。
2 数组求解
2.1 解题思想
用数组求解的基本思想就是用一个一维数组去标识这 n 个人的状态，默认全为 1 ，也就是都在圈子内，当数到 m的人出圈之后，标识置为 0（就是出圈了），同时报数器清 0，下一个人要从 1 开始。在每次报数之前要判断他是否在圈子内（也就是他的标识是否为 1 ），如果在圈子里面才会继续报数。定义一个变量记录出圈的人数， 出圈的人数等于 n-1 时，则游戏结束。
2.2 代码实现
#include<stdio.h>
#define N 1000000 //记录玩游戏最大人数
int flag【N】 = {0};
int main()
{
int n = 0, m = 0;
scanf("%d%d", &n, &m);//输入玩游戏人数和计数m
int i = 0;
int count = 0; //记录已经出圈的人数
int num = 0; //报数器
for(i = 1; i <= n; i++) {
flag【i】 = 1;//所有人入圈
}
while(count < n - 1) {
for(i = 1; i <= n; i++ ) {
if (1 == flag【i】) {//在未出圈的人数中计数
num++;
if(num == m) {//此人数到m则出圈
printf("%d\n", i);
count++;//出圈人数加1
flag【i】 = 0;//出圈
num = 0;
}
if(count == n - 1) {
break;
}
}
}
}
for(i = 1; i <= n; i++) {
if(1 == flag【i】) {//输出赢家，标识为1
printf("The last one is : %d\n", i);
}
}
return 0;
}
3 循环链表求解
3.1 解题思想
约瑟夫环问题可以转化为循环链表的数据结构来求解。可以将每个人看做链表的单个节点，每个节点之间通过链表的 next 指针连接起来，并且将链表末尾节点指向头节点就形成的环，由链表构成的环形结构在数据结构中称为循环链表。
3.2 代码实现
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
/*声明一个链表节点*/
typedef struct node
{
int number;//数据域，存储编号数值
struct node *next;//指针域，指向下一个节点
}Node;
/*创建链表节点的函数*/
Node* CreatNode(int x)
{
Node *p;
p = (Node*)malloc(sizeof(Node));
p->number = x;//将链表节点的数据域赋值为编号
p->next = NULL;
return p;
}
/*创建环形链表，存放整数1到n*/
Node* CreatJoseph(int n)
{
Node *head,*p,*q;
int i;
for(i = 1; i <= n; i++)
{
p = CreatNode(i);//创建链表节点，并完成赋值
if(i == 1)//如果是头结点
head = p;
else//不是头结点，则指向下一个节点
q->next = p;
q = p;
}
q->next = head;//末尾节点指向头结点，构成循环链表
return head;
}
/*模拟运行约瑟夫环，每数到一个数，将它从环形链表中删除，并打印出来*/
void RunJoseph(int n,int m)
{
Node *p,*q;
p = CreatJoseph(n);//创建循环链表形式的约瑟夫环
int i;
while(p->next != p)//循环条件，当前链表数目大于1
{
for(i = 1; i < m-1; i++)//开始计数
{
p = p->next;
}
//第m个人出圈
q = p->next;
p->next = q->next;
p = p->next;
printf("%d--",q->number);//输出出圈的序号
free(q);
}
printf("\n最后剩下的数为：%d\n",p->number);
}
int main()
{
int n,m;
scanf("%d %d",&n,&m);
RunJoseph(n,m);
return 0;
}
4 递推公式求解
4.1 解题思想
约瑟夫环中，每当有一个人出圈，出圈的人的下一个人成为新的环的头，相当于把数组向前移动 m 位。若已知 n-1 个人时，胜利者的下标位置位 f(n−1,m) ，则 n 个人的时候，就是往后移动 m 位，(因为有可能数组越界，超过的部分会被接到头上，所以还要模 n )，根据此推导过程得到的计算公式为：
f(n,m) = (f(n−1,m) + m) % n。
其中，f(n,m) 表示 n 个人进行报数时，每报到 m 时杀掉那个人，最终的编号，f(n−1,m) 表示，n-1 个人报数，每报到 m 时杀掉那个人，最终胜利者的编号。有了递推公式后即可使用递归的方式实现。
4.2 递归代码实现
#include <stdio.h>
int Joseph(int n,int m)/*计算约瑟夫环的递归函数*/
{
if(n <= 1 || m <= 1)//设置游戏人数限定值
return -1;
if(n == 2)//设置边界值
{
if(m % 2 == 0)
return 1;
else
return 2;
}
else
{
return (Joseph(n-1,m) + m-1) % n+1;//递归调用
}
}
int main()
{
int n,m,x;
scanf("%d %d",&n,&m);
x=Joseph(n,m);
printf("最后一个数为：%d\n",x);
return 0;
}
4.3 迭代代码实现
#include <stdio.h>
/*计算约瑟夫环问题的迭代法函数*/
int Joseph(int n,int m)
{
int i;
int x,y;
if(n <= 1 || m <= 1)
return -1;
if(m % 2 == 0)
y = 1;
else
y = 2;
for(i = 3; i <= n; i++)
{
x = (y-1 + m) % i + 1;
y = x;
}
return y;
}
int main()
{
int n,m,x;
scanf("%d %d",&n,&m);
x = Joseph(n,m);
printf("最后一个的编号是：%d\n",x);
return 0;
}
实际应用
比如你们公司需要团建，你可以设计这个游戏，根据游戏人数的多少，将你和你心仪的妹子安排在合适的座位上，一同进最后的决赛圈~
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