深入解析“最大路径和”问题（二）：树形动态规划与矩阵取数问题

在上一篇博客中，我们通过二叉树的“最大路径和”问题，详细讲解了树形动态规划的解法。然而，路径问题不仅仅存在于树结构中，矩阵中也有类似的路径最优化问题。这次我们将进一步扩展，分析矩阵取数的问题。

问题描述：矩阵取数游戏

题目

小明玩一个矩阵取数游戏，规则如下：

1. 给定一个 $n\times n$) 的矩阵 $a_{ij}$，其中每个格子的价值 $a_{ij}\ge 0$。
2. 游戏从左上角格子 $(1,1)$ 出发，只能向右或下移动，直到到达右下角格子 $(n,n)$。
3. 每经过一个格子，就能获得该格子的价值。
4. 要求求出从左上角到右下角路径的最大价值和。

输入

• 第一行：矩阵大小$n$。
• 接下来的 $n$ 行：每行有 $n$个非负整数，表示矩阵格子的价值。

输出

• 最大价值和。

方法论：动态规划解法

1. 解题思路

矩阵取数问题是一个典型的二维动态规划问题。
动态规划的核心是通过构造一个二维数组 $dp$，记录到达每个格子的最大价值和，逐步计算出右下角的最大得分。

状态定义

• $dp[i][j]$：表示从左上角到达格子 $(i,j)$ 的最大价值和。

状态转移方程

我们定义：$a[i][j]$为矩阵位置$(i,j)$的价值。
从起点到达格子 $(i,j)$，只能从上方或左方到达，因此：
$dp[i][j]=\max (dp[i-1][j],dp[i][j-1])+a_{ij}$

边界条件

• 起点 $dp[0][0]=a_{00}$。
• 第一行和第一列只能从左或上单向到达：
  • 第一行：$dp[0][j]=dp[0][j-1]+a_{0j}$
  • 第一列：$dp[i][0]=dp[i-1][0]+a_{i0}$

2. 算法步骤

1. 初始化二维数组 $dp$，大小为 $n\times n$。
2. 填充边界条件：第一行和第一列的值。
3. 按照状态转移方程依次填充 $dp[i][j]$。
4. 返回右下角 $dp[n-1][n-1]$ 的值。

3. 时间复杂度

• 时间复杂度：$O(n^2)$，因为需要填充一个 $n\times n$ 的矩阵。
• 空间复杂度：$O(n^2)$（可通过滚动数组优化至 $O(n)$）。

代码实现（C++）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<vector<int>> matrix(n, vector<int>(n)); // 输入矩阵
    vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));     // 动态规划数组

    // 输入矩阵值
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            cin >> matrix[i][j];
        }
    }

    // 初始化起点
    dp[0][0] = matrix[0][0];

    // 初始化第一行
    for (int j = 1; j < n; ++j) {
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + matrix[0][j];
    }

    // 初始化第一列
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + matrix[i][0];
    }

    // 填充动态规划数组
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        for (int j = 1; j < n; ++j) {
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + matrix[i][j];
        }
    }

    // 输出右下角的最大价值和
    cout << dp[n-1][n-1] << endl;

    return 0;
}

实例解析：一步步解决问题

输入示例

4
1 3 1 2
1 5 1 1
4 2 1 3
1 1 1 10

动态规划表计算

初始化：

• 起点 $dp[0][0]=1$

填充第一行和第一列：

填充其余格子：

按照状态转移公式逐步计算：

输出结果

最终最大价值和为 $dp[3][3]=25$。

矩阵问题与树问题的对比

总结与扩展

总结

• 矩阵取数问题是“最大路径和”问题的二维拓展，核心仍然是动态规划。
• 状态转移方程清晰，适合由浅入深引导学习。
• 动态规划思路灵活，稍作调整可用于更复杂的二维路径问题。

扩展问题

1. 如果允许向四个方向移动（上下左右），如何解决？
2. 如果要求路径不能重复访问某些特定的格子，该如何修改算法？

希望这篇博客对你理解“最大路径和”问题的多种变体有所帮助！