题目：（2022）

题目描述（13届 C&C++ B组A题）

解题思路：

• 定义状态：
  使用一个二维数组 dp[j][k] 来表示将数字 k 拆分为 j 个不同正整数的方案数。

• 初始化：
  初始状态设定为 dp[0][0] = 1，表示将数字 0 拆分为 0 个数有一种方式（即不选择任何数）。

• 状态转移方程：
  我们逐步遍历 1 到 2022 的所有正整数 i，并利用 j 表示当前所需的数字个数。

  • 如果选择当前数 i，则可以从 dp[j-1][k-i] 进行转移，将数 k 拆分为 j 个数的方案可以由数 k-i 拆分为 j-1 个数的方案转移而来。

  • 因此，状态转移方程为： dp[j][k]+=dp[j−1][k−i]dp[j][k] += dp[j-1][k-i]dp[j][k]+=dp[j−1][k−i]

  • 该公式表示，当前数值 k 的方案数等于在 j-1 个不同数构成 k-i 的方案数上加上 i。

• 边界条件：
  由于拆分出的数需要互不相同，我们在外层循环中设定 j 从 10 到 1 逆序遍历，以确保每个数只被用一次。

• 最终结果：
  经过所有状态的更新后，dp[10][2022] 就代表了将 2022 拆分为 10 个互不相同的正整数的方案数。

代码实现（C语言）：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

long long dp[11][2032];

int main() {
    dp[0][0] = 1; // 初始状态：0 可以被拆分为 0 个数的一种方式
    for (int i = 1; i <= 2022; i++) {
        for (int j = 10; j >= 1; j--) {
            for (int k = i; k <= 2022; k++) {
                dp[j][k] += dp[j-1][k-i];
            }
        }
    }
    printf("%lld\n", dp[10][2022]);
    return 0;
}

得到运行结果：

代码分析： 

• dp[0][0] = 1：初始化，表示将 0 拆分成 0 个数有 1 种方案。

• 外层循环 i 遍历 1 到 2022 的所有正整数。

• 中层循环 j 表示当前所需的数个数，逆序从 10 到 1 遍历，保证每个数仅被用一次。

• 内层循环 k 表示当前和的数值，从 i 到 2022。

• 状态转移 dp[j][k] += dp[j-1][k-i]，即数 k 的方案数可以由 j-1 个数构成的 k-i 的方案数转移而来。

难度分析

⭐️⭐️⭐️

总结

本题利用动态规划实现了从小到大的逐步转移，计算出将 2022 拆分成 10 个互不相同的正整数的方案数。动态规划的优点是避免了重复计算，提高了效率。最终结果储存在 dp[10][2022] 中，即为所求解。