1. 前言

2024年高考基本上落下帷幕（特殊省份除外），我们关注下曾经“最喜欢”的数学用 AI 能得多少分？当前采用 ChatGPT-4o 模型，传入数学试题图片，仅做数学的选择题 + 填空题，大题暂时不考虑。

ChatGPT-4o 的测评请翻阅：《GPT-4o 新旗舰模型，具备哪些多模态能力》

我们关注以下几点：

（1）AI 模型对图片精确识别能力（模拟真实看图能力）；

（2）AI 模型对数学思维的思考链能力（模拟人的思考能力）；

（3）AI 模型的最终得分情况。

2. AI答题

2.1 第一部分试题图

原图：

AI 答题：

1. 已知集合 A = { x ∣ − 5 < x < 5 } A = \{ x | -5 < x < 5 \} A={x∣−5<x<5}， B = { − 3 , − 1 , 0 , 2 , 3 } B=\{-3, -1, 0, 2, 3\} B={−3,−1,0,2,3}，则 $A\cap B$ 是：

   • A. { -1, 0 }
   • B. { 2, 3 }
   • C. { -3, -1, 0, 2, 3 }
   • D. { -1, 0, 2 }

   解答：集合 $A$ 是从 -5 到 5 之间的所有实数，集合 $B$ 是 { -3, -1, 0, 2, 3 }。所以 $A\cap B$ 是 { -1, 0, 2, 3 }，因此答案是 B.

试题识别错误，思维链有效，答题错误，得 0 分

2. 若 $z=\frac{1+i}{z-1}$，则 $z=$：

   • A. -1-i
   • B. -1+i
   • C. 1-i
   • D. 1+i

   解答：将 $z$ 写成 $a+bi$ 的形式并解这个方程会发现 $z=1+i$，所以答案是 D.

试题识别错误，思维链有效，答题错误，得 0 分

3. 已知向量 $a=(0,1)$，$b=(2,x)$，若 $b\perp (b-4a)$，则 $x=$：

   • A. -2
   • B. -1
   • C. 1
   • D. 2

   解答：$b\perp (b-4a)$ 表示 $b\cdot (b-4a)=0$，解方程可得 $x=2$，所以答案是 D.

试题识别正确，思维链有效，答题正确，得 5 分

4. 已知 $\cos (\alpha +\beta )=m$，$\tan \alpha \tan \beta =2$，则 $\cos (\alpha -\beta )=$：

   • A. -3m
   • B. $\frac{m}{3}$
   • C. $\frac{m}{2}$
   • D. $3m$

   解答：利用三角恒等式 $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$，结合题目已知条件可得答案为 B.

试题识别正确，思维链无效，答题错误，得 0 分

5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 $\sqrt{3}$，则圆锥的体积为：

   • A. $2\sqrt{3}\pi$
   • B. $3\sqrt{3}\pi$
   • C. $6\sqrt{3}\pi$
   • D. $9\sqrt{3}\pi$

   解答：通过计算发现，圆锥的体积为 $\frac{1}{3}\times \pi r^2\times h$，结合侧面积相等条件可得答案为 B.

试题识别正确，思维链有效，答题正确，得 5 分

6. 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2-2ax-a,& x<0\\ \frac{1}{e^x+\ln (x+1)},& x\ge 0\end{array}$，在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是：

   • A. $(-\infty ,0]$
   • B. $[-1,0]$
   • C. $[-1,1]$
   • D. $[0,+\infty )$

   解答：为了使函数单调递增，必须确保每一部分的导数非负，解得 $a\in [-1,0]$，因此答案是 B.

试题识别错误，思维链有效，答题正确，得 5 分

2.2 第二部分试题图

原图：

AI 答题：

7. 当 $x\in [0,2\pi ]$ 时，曲线 $y=\sin x$ 与 $y=2\sin (3x-\frac{\pi }{6})$ 的交点个数为：

   • A. 3
   • B. 4
   • C. 6
   • D. 8

   解答：通过计算和绘图分析，发现这两个函数在 $[0,2\pi ]$ 内交点为 6 个，所以答案是 C.

试题识别正确，思维链有效，答题正确，得 5 分

8. 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，$f(x)>f(x-1)+f(x-2)$，且当 $x<3$ 时，$f(x)=x$，则下列结论中一定正确的是：

   • A. $f(10)>100$
   • B. $f(20)>1000$
   • C. $f(10)<1000$
   • D. $f(20)<100$

   解答：根据已知条件及递推关系，可以证明 $f(10)<1000$，因此答案是 C.

试题识别错误，思维链无效，答题正确，得 5 分

以下为多选题：

9. 为了解棉花田口后面的亩收入（单位：万元）情况，从该种棉花田中抽取样本，得到推测出口后面收入的样本均值 $\bar{x}=2.1$，样本方差 $s^2=0.01$。已知该种棉花田以往的亩收入 $X$ 服从正态分布 $N(1.8,0.1^2)$，假设棉花田口后的亩收入 $Y$ 服从正态分布 $(\bar{x},s^2)$，则 $P(Z\le \mu +\sigma )\approx 0.8413$：

   • A. $P(X>2)>0.2$
   • B. $P(X\ge 2)<0.5$
   • C. $P(Y>2)>0.5$
   • D. $P(Y\ge 2)<0.8$

   解答：计算发现 $P(Y\ge 2)\approx 0.8413$，符合题意要求，因此选项是 C.

试题识别错误，思维链无效，答题部分正确，得 3 分

10. 设函数 $f(x)=(x-1{)}^2(x-4)$，则：

• A. $x=3$ 是 $f(x)$ 的极小值点
• B. 当 $0<x<1$ 时，$f(x)<f(x^2)$
• C. 当 $1<x<2$ 时，$-4<f(2x-1)<0$
• D. 当 $-1<x<0$ 时，$f(2-x)>f(x)$

解答：通过对函数的分析和计算，可以发现选项 B 和 D 符合题意。

试题识别正确，思维链无效，答题错误，得 0 分

11. 造型 $h$ 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 $C$ 的一部分。已知 $C$ 过坐标原点 O，且 $C$ 上的点满足横坐标大于 -2，到点 $F(2,0)$ 的距离与到直线 $x=a(a<0)$ 的距离之积为 4，则：

• A. $a=-2$
• B. 点 $(2\sqrt{2},0)$ 在 $C$ 上
• C. $C$ 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 1
• D. 当点 $(x_0,y_0)$ 在 $C$ 上时，$y_0\le \frac{4}{x_0+2}$

解答：根据已知条件，通过计算和分析发现，选项 A 和 D 符合题意。

试题识别正确，思维链无效，答题部分正确，得 3 分

2.3 第三部分试题图

原图：

AI 答题：

12. 设双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ $(a>0,b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_1$、$F_2$，过 $F_2$ 作平行于 y 轴的直线交 $C$ 于 A、B 两点。若 $F_{1}A=13$，$AB=10$，则 $C$ 的离心率为：

解答：

• 双曲线的标准形式为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
• 焦点到原点的距离为 $\sqrt{a^2+b^2}$
• $F_{1}A=13$，说明 $a=13$
• 通过 $AB=10$，结合双曲线的性质计算出离心率 $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$

最终答案是：$\sqrt{2}$.

试题识别正确，思维链无效，答题错误，得 0 分

13. 若曲线在点 $(0,1)$ 处的切线也是曲线 $y=\ln (x+1)+a$ 的切线，则 $a=$：

解答：

• 设 $y=\ln (x+1)+a$ 在 $(0,1)$ 处的切线斜率为 1
• 切线方程为 $y=x+1$
• 将点 $(0,1)$ 代入得出 $a=0$

最终答案是：0.

试题识别错误，思维链无效，答题错误，得 0 分

14. 甲乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，假设甲的卡片上分别有数字 $1,3,5,7$，乙的卡片上分别有数字 $2,4,6,8$。两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己已有的卡片中随机抽选一张，并比较所选卡片上的数字大小，数字大的人的得 9 分，然后各自再把轮所抽的卡片（弃置的卡片在后面的轮次中不能使用），则甲的比数高于乙的总得分不少于 2 的概率是：

解答：

• 计算甲乙之间每一轮的胜率
• 根据独立事件概率相乘原则，计算四轮中甲胜至少 3 次的概率

最终答案是：$\frac{1}{2}$（需详细计算验证）.

试题识别错误，思维链无效，答题正确，得 5 分

3. 结论

由此可见当前顶级 LLM（大语言模型）：

（1）对于高年级数学选择/填空题的解答能力达到及格偏上水平，依然还很大的提升空间；

（2）对于图片识别能力已经达到了较高的水平，图片中包含许多不常见的数学公式；即使对于识别错误的试题，也只是存在少量的错误；

（3）对于数学的解题思考能力依然有待提升，超过半数试题无法提供清晰有效的解题思路。

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