高能预警! 需要前置知识“摊还分析”和“splay”

前置小结论

$\log x+\log y\le 2log(x+y)-2$
容易看出这其实与$4xy\le (x+y{)}^2$等价，即与$(x-y{)}^2\ge 0$等价。

一些约定

对每个节点$x$，设其大小为$c(x)$（一个正数，此处取一即可），其子树的大小为$s(x)={\sum }_{u\in subtree(x)}c(u)$，这个节点对势函数的贡献为$\varphi (x)=\log s(x)$。
定义整棵树的势函数$\Phi (T)={\sum }_{x\in T}\varphi (x)$。显然$\Phi (T)>0$。

各种情形下势函数变化量

zig/zag

因为两种情况对称，所以图只画了$zig$情形

   Y        X'
 X  C  ->  A  Y'