1、超平面

在数学和几何中，超平面（Hyperplane）是一个通用化的几何概念。它是用来描述高维空间中的某个维度少一维的子空间。例如：

• 在二维空间（平面）中，超平面就是一条直线，它将平面分成两个部分。
• 在三维空间（我们通常理解的三维世界）中，超平面是一个平面，它将空间分成两个部分。
• 在更高的维度中，例如四维或更高维空间，超平面则是比空间维数低一维的几何对象，它同样将高维空间分成两个部分。

从数学表达上，超平面通常可以用一个线性方程来表示，如：

$$w_1{x}_1+w_2{x}_2+\cdots +w_n{x}_n+b=0$$

其中 $w_1,w_2,\dots ,w_n$ 是权重，$b$ 是偏差项，而 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 是 n 维空间中的坐标。这个方程的解就是超平面在该空间中的位置。

在机器学习（尤其是支持向量机）中，超平面用于将数据点分成不同的类别。

2、SVM原理

支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是一种监督学习算法，广泛用于分类问题。它的核心思想是通过一个超平面来最大化不同类别之间的间隔，从而实现分类。下面我们从数学的角度来详细说明支持向量机的原理。

1. 问题定义

假设我们有一个线性可分的二分类问题，训练数据集表示为 $(\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_n,y_n)\}$)，其中 $(x_i\in {\mathbb{R}}^d$) 是特征向量， ( y i ∈ { − 1 , 1 } ( y_i \in \{-1, 1\} (yi​∈{−1,1}) 是类标签。

SVM 的目标是找到一个超平面将不同类别的数据点分开，这个超平面的方程可以表示为：

$$w^{T}x+b=0$$

其中：

• $(w$) 是法向量，决定超平面的方向。
• $(b$) 是偏置项，决定超平面与原点的距离。

2. 分类决策

对于给定的样本点 ( x )，分类决策依据超平面的方程进行：

• 如果 $(w^{T}x+b>0$)，则分类为 ( 1 ) 类。
• 如果 $(w^{T}x+b<0$)，则分类为 ( -1 ) 类。

对于给定的训练样本 $((x_i,y_i)$)，其中 ( y i ∈ { 1 , − 1 } ( y_i \in \{1, -1\} (yi​∈{1,−1}) 表示分类标签，支持向量机的目标是确保这些样本点能够被正确分类。

• 如果$(y_i=1$)（正类），我们希望该点在超平面的正侧，即满足：

$$w^T{x}_i+b>0$$

• 如果 $(y_i=-1$)（负类），我们希望该点在超平面的负侧，即满足：

$$w^T{x}_i+b<0$$

可以将这两个条件合并为一个不等式：

$$y_i(w^T{x}_i+b)>0$$

这个条件确保了所有样本点都被正确分类。对于$(y_i=1$)的样本，如果 $(w^T{x}_i+b>0$)，则 $y_i(w^T{x}_i+b)=1\cdot (w^T{x}_i+b)>0$；对于$(y_i=-1$) 的样本，如果 $(w^T{x}_i+b<0$)，则 $y_i(w^T{x}_i+b)=-1\cdot (w^T{x}_i+b)>0$。

得到约束条件

在支持向量之外的样本，应该位于超平面外更远的地方，因此我们可以将分类条件拓展为所有样本都必须至少满足 $(y_i(w^T{x}_i+b)\ge 1$)，即：

$$y_i(w^T{x}_i+b)\ge 1\forall i$$

这个条件表示所有样本点必须被正确分类，并且支持向量与超平面的距离为 1。

3. 最大化间隔

SVM 的关键在于找到能够最大化间隔（margin）的超平面。间隔指的是超平面到距离它最近的点的距离。

• 支持向量：离超平面最近的那些点称为支持向量。SVM 试图使得支持向量到超平面的距离最大化。
• 间隔的计算：对于一个点 $(x_i$)，它到超平面的距离是：

$$\text{Distance}=\frac{|w^T{x}_i+b|}{\Vert w\Vert }$$

为了使得间隔最大化，支持向量机引入了支持向量的概念。支持向量是最靠近超平面的点，其几何上距离超平面的距离为 ( $\frac{1}{\Vert w\Vert }$)。我们希望通过约束条件，将最靠近超平面的点（支持向量）的几何距离标准化为 1。

因此，对于支持向量，我们约定满足刚好分类正确的条件：

$$y_i(w^T{x}_i+b)=1$$

这意味着支持向量到超平面的距离刚好为 1。
最终，间隔变成：
$$\text{Distance}=\frac{1}{\Vert w\Vert }$$

4. 优化目标

SVM 的目标是最大化间隔，即最小化 $(\Vert w\Vert$)。因此，我们的优化问题可以写为：

$$\underset{w,b}{\min }\frac{1}{2}\Vert w{\Vert }^2$$

同时，约束条件是所有样本点要被正确分类，即：

$$y_i(w^T{x}_i+b)\ge 1\forall i$$

这是一个凸二次优化问题，能够通过拉格朗日乘子法和对偶问题来求解。

3、凸优化问题

将支持向量机（SVM）的优化问题转换为对偶问题，主要是通过拉格朗日乘子法来处理约束条件。下面是详细步骤：

1. 原始优化问题

我们从 SVM 的原始优化问题开始。SVM 的目的是找到一个超平面 $(w^{T}x+b=0$) 来分隔两个类别，同时最大化间隔。原始问题为：

优化目标

$$\underset{w,b}{\min }\frac{1}{2}\Vert w{\Vert }^2$$

约束条件

$$y_i(w^T{x}_i+b)\ge 1\forall i$$

2. 拉格朗日乘子法

为了将此问题转换为对偶问题，我们引入拉格朗日乘子 $({\alpha }_i\ge 0$)，为每个约束 $(y_i(w^T{x}_i+b)-1\ge 0$) 对应一个拉格朗日乘子。原始的拉格朗日函数 $(L(w,b,\alpha )$) 为：

$$L(w,b,\alpha )=\frac{1}{2}\Vert w{\Vert }^2-\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\left[y_i(w^T{x}_i+b)-1\right]$$

其中：

• $({\alpha }_i\ge 0$) 是拉格朗日乘子，对应于每个约束。

3. 拉格朗日函数分析

拉格朗日函数 $(L(w,b,\alpha )$) 包含两个部分：

• 第一部分是目标函数 $(\frac{1}{2}\Vert w{\Vert }^2$)，它希望最小化法向量的模，等价于最大化间隔。
• 第二部分包含所有约束的乘积，确保分类正确。

为了求解这个优化问题，我们需要同时最小化 $w$ 和 $b$（主问题），并且最大化$\alpha$（对偶问题）。

4. 求解对 $w$ 和 $b$ 的极值

接下来，我们对 $w$ 和 $b$ 进行最小化。首先对 $w$ 求偏导数，并令其等于 0：

$$\frac{\partial L(w,b,\alpha )}{\partial w}=w-\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i{x}_i=0$$

得到：

$$w=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i{x}_i$$

这表明，最终的法向量 $w$ 是支持向量的线性组合。

然后对 $b$ 求偏导数，并令其等于 0：

$$\frac{\partial L(w,b,\alpha )}{\partial b}=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i=0$$

因此，我们得到一个约束条件：

$$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i=0$$

5. 构造对偶问题

现在，我们将 $w$的表达式 $(w={\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i{x}_i$) 代入到拉格朗日函数中，消去$w$：

将 $(w={\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i{x}_i$) 代入到 $(\frac{1}{2}\Vert w{\Vert }^2$) 中：

$$\frac{1}{2}\Vert w{\Vert }^2=\frac{1}{2}{\left(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i{x}_i\right)}^T\left(\sum _{j=1}^n{\alpha }_j{y}_j{x}_j\right)=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j{x}_i^T{x}_j$$

然后，我们将$w$的表达式代入拉格朗日函数的第二项：

$$-\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\left[y_i(w^T{x}_i+b)-1\right]=-\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i\left(\sum _{j=1}^n{\alpha }_j{y}_j{x}_j^T{x}_i\right)+\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_{i}b+\sum _{i=1}^n{\alpha }_i$$

由上述约束条件：
$$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i=0$$
得到对偶问题的优化目标：

$$\underset{\alpha }{\max }\sum _{i=1}^n{\alpha }_i-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j{x}_i^T{x}_j$$

对偶问题的约束条件：

1. $({\alpha }_i\ge 0$)
2. $({\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i=0$)

通过求解这个对偶问题，我们可以得到每个样本对应的拉格朗日乘子 $({\alpha }_i$)。再根据 $({\alpha }_i$) 的值，求得 $w$ 和$b$，从而得到最终的分类决策函数。
在支持向量机（SVM）的对偶问题求解完成后，拉格朗日乘子 ${\alpha }_i$ 的解已经找到。通过这些解，我们可以计算出权重向量 $w$。不过，我们仍需要求解偏置项$b$，它是决策边界的偏移量。

6、通过支持向量求解 $b$

由于$b$出现在 SVM 的决策函数 $g(x)=w^{T}x+b$中，求解$b$ 时我们需要利用支持向量。支持向量是那些位于边界上的训练样本，即它们满足 $y_i(w^T{x}_i+b)=1$。支持向量对应的拉格朗日乘子 ${\alpha }_i>0$，而其他样本的 ${\alpha }_i=0$。

我们可以通过任意一个支持向量的公式来求解 $b$。

支持向量的条件

对于支持向量 $x_i$，有：

$$y_i(w^T{x}_i+b)=1$$

将 $w$ 的表达式 $w={\sum }_{j=1}^n{\alpha }_j{y}_j{x}_j$ 代入上式(别忘了，我们有 ( y i ∈ { − 1 , 1 } ( y_i \in \{-1, 1\} (yi​∈{−1,1}))：

$$y_i\left(\sum _{j=1}^n{\alpha }_j{y}_j{x}_j^T{x}_i+b\right)=1$$

化简得：

$$\sum _{j=1}^n{\alpha }_j{y}_j{x}_j^T{x}_i+b=y_i$$

从这里我们可以解出 $b$：

$$b=y_i-\sum _{j=1}^n{\alpha }_j{y}_j{x}_j^T{x}_i$$

要计算$b$，我们只需要找到一个支持向量 $x_i$，然后将其代入上述公式即可。更一般地，我们也可以使用多个支持向量的平均值来求解 $b$，以提高计算的稳定性。具体步骤如下：

1. 选择多个支持向量：这些支持向量是满足 ${\alpha }_i>0$ 的样本点。
2. 代入求 $b$ 的公式：
   • 对每一个支持向量 $x_i$，我们可以使用公式：
     $$b=y_i-\sum _{j=1}^n{\alpha }_j{y}_j{x}_j^T{x}_i$$
   • 若选择多个支持向量，可以取它们对应的 $b$ 的平均值：
     $$b=\frac{1}{m}\sum _{i\in SV}\left(y_i-\sum _{j=1}^n{\alpha }_j{y}_j{x}_j^T{x}_i\right)$$
     其中，$SV$表示支持向量的集合，$m$ 是支持向量的个数。

7. 对偶问题的解法

通过求解上述的对偶优化问题，我们可以得到拉格朗日乘子 $({\alpha }_i$)。找到最优解后，法向量 $w$可以由支持向量（那些 $({\alpha }_i>0$)）的线性组合表示为：

$$w=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i{x}_i$$

代入$g(x)=w^{T}x+b$，最终用于分类的决策函数为：

$$f(x)=\text{sign}\left(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i{x}_i^{T}x+b\right)$$

其中 $b$可以通过支持向量求得。

4、非线性如何划分

支持向量机（SVM）通过一种称为核技巧（Kernel Trick）的方法来处理非线性数据。基本思想是：将原始的输入数据从低维的非线性可分空间映射到高维空间，在这个高维空间中，数据变得线性可分，然后再使用线性SVM进行分类。具体步骤和方法如下：

1. 非线性数据问题

在原始空间中，SVM只能找到一个线性超平面来分割数据。然而，很多数据集是非线性可分的，线性分类器在这些情况下无法取得好的效果。例如：

• 数据在二维平面中是非线性分布的，例如以圆形或螺旋形方式分布。
• 线性SVM无法找到一个直线或平面来正确分类这些数据。

为了解决这个问题，SVM需要将原始数据映射到一个更高的维度，在这个高维空间中，数据可能就变得线性可分了。

2. 核技巧的核心思想

SVM 并不直接将数据映射到高维空间，而是通过使用一种称为核函数（Kernel Function）的方法，避免实际地进行高维计算。核函数能够计算两个样本在高维空间中的内积，而无需显式地进行高维映射。

SVM 的优化问题依赖于样本之间的内积（即 $(x_i\cdot x_j$)），我们可以通过核函数来计算这个内积：

$$K(x_i,x_j)=\varphi (x_i{)}^T\varphi (x_j)$$

其中：

• $x_i$ 和 $x_j$ 是原始空间中的样本。
• $\varphi (x)$ 是将 $x$ 从原始空间映射到高维空间的映射函数。
• $K(x_i,x_j)$ 是核函数，它计算了 $x_i$ 和 $x_j$ 在高维空间中的内积。

通过使用核函数，我们可以在不显式进行高维映射的情况下，计算出在高维空间中样本之间的内积，从而利用线性SVM进行分类。

3. 常见的核函数

SVM 使用核函数来替代直接的内积计算，不同的核函数对应于不同的高维映射。常见的核函数有：

1. 线性核（Linear Kernel）

$$K(x_i,x_j)=x_i^T{x}_j$$
这个核函数表示在原始空间中不进行任何映射，直接应用线性SVM。适用于数据已经线性可分的情况。

2. 多项式核（Polynomial Kernel)

$$K(x_i,x_j)=(x_i^T{x}_j+c{)}^d$$
这个核函数将数据映射到高维多项式空间，适用于非线性关系可以用多项式模型表示的情况。

• $c$ 是常数（通常 $c\ge 0$）。
• $d$ 是多项式的阶数，控制映射的维度。

3. 高斯径向基核（RBF Kernel）/ 高斯核

$$K(x_i,x_j)=\exp \left(-\frac{\Vert x_i-x_j{\Vert }^2}{2{\sigma }^2}\right)$$
RBF 核将数据映射到无限维的空间，适用于各种非线性数据。它非常灵活且常用于实际问题中。$\sigma$ 控制高斯函数的宽度，决定了每个数据点的“影响范围”。

4. Sigmoid 核（类似于神经网络的激活函数）

$$K(x_i,x_j)=\tanh (\kappa x_i^T{x}_j+c)$$
Sigmoid 核在某些情况下类似于神经网络中的一个激活函数，适用于神经网络相关的任务。

4. 使用核技巧的 SVM 优化问题

使用核函数后，SVM 的优化目标和对偶问题发生了一些变化。原始的对偶优化问题依赖于样本之间的内积 $(x_i\cdot x_j$)，现在变为依赖于核函数：

对偶优化目标：

$$\underset{\alpha }{\max }\sum _{i=1}^n{\alpha }_i-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_{j}K(x_i,x_j)$$

约束条件：

1. ${\alpha }_i\ge 0$
2. ${\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i=0$

在这里，内积 $x_i^T{x}_j$ 被核函数 $K(x_i,x_j)$ 替代。因此，在高维空间中的优化依然是线性问题，但是通过核函数的作用，解决了原始空间中的非线性问题。

5. SVM 的决策函数

训练完成后，SVM 的分类决策函数也依赖于核函数，表示为：

$$f(x)=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_{i}K(x_i,x)+b$$

其中，${\alpha }_i$ 是拉格朗日乘子，$K(x_i,x)$ 是核函数，它计算新样本 $x$ 与训练样本 $x_i$ 的相似度。

• 如果使用线性核，这个决策函数就等价于线性SVM。
• 如果使用非线性核（例如 RBF 核），决策函数将是一种非线性分类器。

6. 核函数的选择

选择合适的核函数对于非线性问题的解决至关重要：

• 线性核适用于线性可分或接近线性可分的数据。
• 多项式核适用于多项式关系较强的数据，但阶数 $d$ 需要调节。
• RBF 核是最常用的核函数之一，它可以很好地处理复杂的非线性数据。
• Sigmoid 核与神经网络类似，在特定应用中有时会使用，但不如 RBF 核普遍。

即使有了核函数，支持向量机（SVM）仍需要引入软间隔和正则化，以增强对噪声和不可分数据的鲁棒性。以下是引入软间隔和正则化的原因及其对应的数学推导和原理。

5、软间隔

虽然通过核函数可以将非线性数据映射到高维空间，并且使其在高维空间中线性可分，但在实际数据集中，有噪声的样本或错误标注的样本可能无法被完全正确分类。因此，直接使用一个完全的线性可分分类器（硬间隔SVM）可能会导致以下问题：

• 过拟合：当分类器过于严格地尝试将所有样本分类正确时，它可能会对数据中的噪声过于敏感，从而对训练数据过拟合，无法很好地泛化到新的数据。
• 无法处理不可分数据：某些数据集中，数据点在高维空间中依然不是完全线性可分的，硬间隔SVM无法找到一个有效的超平面来区分这些数据。

因此，引入软间隔（Soft Margin)是为了允许某些样本可以违反分类间隔要求，以提高模型的鲁棒性，并控制模型的复杂度，避免过拟合。

1、允许部分错误分类

为了应对上述问题，SVM 引入了软间隔的概念。软间隔允许一些样本违反间隔条件，即允许它们出现在错误的一侧，或者没有完全位于正确的边界上。为此，我们引入松弛变量（slack variables）${\xi }_i$ 来表示每个样本违反间隔的程度。

软间隔 SVM 的目标函数和约束条件

在软间隔 SVM 中，优化问题变为在保持最大间隔的同时，允许一定的分类错误。引入松弛变量后的优化问题可以表示为：

目标函数：

$$\underset{w,b,\xi }{\min }\frac{1}{2}\Vert w{\Vert }^2+C\sum _{i=1}^n{\xi }_i$$

其中：

• $\frac{1}{2}\Vert w{\Vert }^2$ 是与硬间隔 SVM 一致的间隔最大化目标。
• $C{\sum }_{i=1}^n{\xi }_i$ 是为了惩罚违反间隔的样本，${\xi }_i\ge 0$ 表示第 $i$ 个样本的松弛程度。
• $C$ 是一个正则化参数，用来控制模型在最大间隔和分类错误之间的权衡。较大的 $C$ 倾向于减少分类错误，较小的 $C$ 则允许更多分类错误，从而使间隔更大。

约束条件：

$$y_i(w^T{x}_i+b)\ge 1-{\xi }_i\forall i$$
和
$${\xi }_i\ge 0\forall i$$

这里，$y_i(w^T{x}_i+b)\ge 1-{\xi }_i$ 意味着每个样本的分类间隔必须至少为 $1-{\xi }_i$，并且 ${\xi }_i$ 是允许间隔违背的程度。当 ${\xi }_i=0$ 时，样本严格满足分类间隔条件；当 ${\xi }_i>0$ 时，样本位于间隔内部或被错误分类。

6、正则化：控制模型的复杂度

在软间隔 SVM 中，正则化通过引入参数 $C$ 来控制模型的复杂度。它的作用是调整间隔最大化和分类错误之间的权衡。

$C$ 的影响：

• 较大的 $C$：表示对分类错误的惩罚更大，因此模型会更严格地尝试将每个样本正确分类，但可能导致过拟合，因为它会对噪声样本过于敏感。
• 较小的 $C$：表示对分类错误的容忍度更高，因此模型会允许更多样本违反分类间隔，间隔可能更大，但泛化能力更强。

正则化在数学上通过目标函数中的 $(C{\sum }_{i=1}^n{\xi }_i$) 项来实现。此项增加了对违反分类间隔样本的惩罚，并且通过调节 ( C ) 的值来调整对错误分类的容忍度。

7、软间隔和核函数结合

即使引入了核函数来处理非线性数据，仍然有必要使用软间隔和正则化。原因是即便数据被映射到高维空间，有些数据仍可能不完全线性可分，或者存在噪声样本，这些噪声样本可能导致分类器出现过拟合。因此，结合核函数和软间隔可以增强分类器的泛化能力。

使用核函数的软间隔 SVM 优化目标

我们现在将核函数引入到软间隔 SVM 的对偶问题中。对偶问题的形式与原始 SVM 相似，但会包含惩罚项 $C$。

对偶优化问题

$$\underset{\alpha }{\max }\sum _{i=1}^n{\alpha }_i-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_{j}K(x_i,x_j)$$

约束条件

1. $0\le {\alpha }_i\le C$
2. ${\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i=0$

这里的 ${\alpha }_i$ 是拉格朗日乘子，$K(x_i,x_j)$ 是核函数。$0\le {\alpha }_i\le C$ 这一约束表明拉格朗日乘子不再无限制，受正则化参数 ( C ) 的影响。